Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Notación:

Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen.

Los elementos de como:

se llaman vectores.

Caligrafias de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como:

se llaman escalares.

Axiomas de un Espacio Vectorial

Si x ϵ V y y ϵ V, entonces x + y ϵ V (cerradura bajo la suma)

Para todo x, y y z en V, (x + y)+ z = x + ( y + z) (ley asociativa de la suma de vectores)

Existe un vector 0∈V tal que para todo x ∈V,x+0=0+x=x (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

Si x ∈V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0 (-x se llama inverso aditivo de x)

Si x "y" y estan en V, entonces x+y=y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si x ∈V" y" α es un escalar, entonces αx∈V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

Si x "y" y "están en" V "y" α "es un escalar", entonces α(x+y)=αx+αy (primera ley distributiva)

Si x ∈V "y" α "y" β" son escalares," entonces (α+β)x=αx+βx (segunda ley distributiva)

Si x ∈V "y" α "y" β" son escalares" , entonces α(βx)=(αβ)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

Para cada vector x∈V,1x=x

EJEMPLO 1.

Espacio en R^n

Sea V=R^n={(■(X_1@X_2@X_n )):X_(j )∈R para i=1,2,….,n}

Cada vector en R^n es una matriz de n x 1. Según la definición de suma de matrices dada, x+y es una matriz de n ×1 si x y y son matrices de n x 1, haciendo:

0=(■(0@0@0)) "y "-x=(■(〖-x〗_1@〖-x〗_2@〖-x〗_n ))

Se ve que los axiomas ii) a x) se obtienen de la definición de suma de vectores (matrices) y su teorema

EJEMPLO 2.

Un espacio vectorial trivial: sea V={0}. Es decir, V consiste solo en el numero 0. Como 0+0=1 .0=0+(0+0)=(0+0)+0=0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial.

SUB-ESPACIOS VECTORIALES

Definición: En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

TEOREMA 1. Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacio es un subespacio

"Si" x ∈H "y" y ∈H,"entonces" x+y ∈H

"Si" x∈H,"entonces " αx∈H" para todo escalar" α

Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que:

x+y "y" αx "están en" H "cuando" x "y" y "están en" H "y" α "es un escalar"

La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece que se le mencione explícitamente

"todo subespacio vectorial V contiene" al 0

EJEMPLO 1

El subespacio trivial: para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que 0+0=0 y α0=0 para todo número real α. Esto se llama el subespacio trivial

EJEMPLO 2

Un espacio vectorial es un subconjunto en sí mismo: para cada espacio vectorial V es un subespacio de sí mismo.

Subespacios propios: los ejemplos anteriores muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespacios, {0} y V (que coinciden si V={0}. Es más interesante encontrar otros subespacios distintos a {0}y V se llaman subespacios propios.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".1

Es decir que si

Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W

COMBINACION LINEAL

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .

EJEMPLO: El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:

: Se dice que es combinación lineal de y de , porque podemos escribir sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector en cuestión.

Ejercicio: Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v1 y v2. Donde:

y =[■(38@41@29)],V_1=[■(6@5@1)],V_2=[■(2@4@6)]

Solución: La pregunta consiste en saber si existen

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