Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Notación:

Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen.

Los elementos de como:

se llaman vectores.

Caligrafias de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como:

se llaman escalares.

Axiomas de un Espacio Vectorial

Si x ϵ V y y ϵ V, entonces x + y ϵ V (cerradura bajo la suma)

Para todo x, y y z en V, (x + y)+ z = x + ( y + z) (ley asociativa de la suma de vectores)

Existe un vector 0∈V tal que para todo x ∈V,x+0=0+x=x (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

Si x ∈V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0 (-x se llama inverso aditivo de x)

Si x "y" y estan en V, entonces x+y=y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si x ∈V" y" α es un escalar, entonces αx∈V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

Si x "y" y "están en" V "y" α "es un escalar", entonces α(x+y)=αx+αy (primera ley distributiva)

Si x ∈V "y" α "y" β" son escalares," entonces (α+β)x=αx+βx (segunda ley distributiva)

Si x ∈V "y" α "y" β" son escalares" , entonces α(βx)=(αβ)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

Para cada vector x∈V,1x=x

EJEMPLO 1.

Espacio en R^n

Sea V=R^n={(■(X_1@X_2@X_n )):X_(j )∈R para i=1,2,….,n}

Cada vector en R^n es una matriz de n x 1. Según la definición de suma de matrices dada, x+y es una matriz de n ×1 si x y y son matrices de n x 1, haciendo:

0=(■(0@0@0)) "y "-x=(■(〖-x〗_1@〖-x〗_2@〖-x〗_n ))

Se ve que los axiomas ii) a x) se obtienen de la definición de suma de vectores (matrices) y su teorema

EJEMPLO 2.

Un espacio vectorial trivial: sea V={0}. Es decir, V consiste solo en el numero 0. Como 0+0=1 .0=0+(0+0)=(0+0)+0=0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial.

SUB-ESPACIOS VECTORIALES

Definición: En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

TEOREMA 1. Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacio es un subespacio

"Si" x ∈H "y" y ∈H,"entonces" x+y ∈H

"Si" x∈H,"entonces " αx∈H" para todo escalar" α

Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que:

x+y "y" αx "están en" H "cuando" x "y" y "están en" H "y" α "es un escalar"

La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece que se le mencione explícitamente

"todo subespacio vectorial V contiene" al 0

EJEMPLO 1

El subespacio trivial: para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que 0+0=0 y α0=0 para todo número real α. Esto se llama el subespacio trivial

EJEMPLO 2

Un espacio vectorial es un subconjunto en sí mismo: para cada espacio vectorial V es un subespacio de sí mismo.

Subespacios propios: los ejemplos anteriores muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespacios, {0} y V (que coinciden si V={0}. Es más interesante encontrar otros subespacios distintos a {0}y V se llaman subespacios propios.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".1

Es decir que si

Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W

COMBINACION LINEAL

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .

EJEMPLO: El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:

: Se dice que es combinación lineal de y de , porque podemos escribir sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector en cuestión.

Ejercicio: Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v1 y v2. Donde:

y =[■(38@41@29)],V_1=[■(6@5@1)],V_2=[■(2@4@6)]

Solución: La pregunta consiste en saber si existen escalares c1 y c2 (tres escalares por ser tres vectores) tales que:

C_1 V_1+C_2 V_2=y

La matriz aumentada del sistema anterior queda con eliminación Gaussiana:

[■(6@5@1) ■(2@4@6) ■(|@|@|) ■(38@41@29)]= [■(1&0@0&1@0&0)■(|@|@|) ■(5@4@0)]

Como el sistema anterior es consistente, sí existen c1 y c2 (c1 = 5 y c2 = 4), que hacen que se cumpla: c1 v1 + c2 v2 = y

Por lo tanto, el vector y sí es combinación lineal de los vectores v1 y v2

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Definición: sean v_1,v_2,…,v_n n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c_1,c_2,…,c_n no todos cero tales que

c_1 v_1+c_2 v_2+⋯+c_3 v_3=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra manera v_1,v_2,…,v_n son linealmente independientes si la ecuación

c_1 v_1+c_2 v_2+⋯+c_3 v_3=0

Se cumple solo para c_1=c_2=⋯=c_n=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de v_1,v_2,…,v_n con coeficientes no todos iguales a cero.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno es un múltiplo escalar del otro

Primero suponga que v_2=cv_1 para algún escalar c ≠0. Entonces cv_1-v_2=0 "y" v_1 "y" 〖 v〗_2 son linealmente dependientes. Por otro lado, suponga que v_1 "y" v_2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c_1 "y" c_2, al menos uno distinto de cero, tales que c_1 v_1+c_2 v_2=0. Si c_1≠0, entonces dividiendo entre c_1, se obtiene v_1+(c_2/c_1 ) v_2=0, osea,

v_1=(-c_2/c_1 ) v_2

Es decir, v_1 es un múltiplo escalar de v_2. Si c_1=0, entonces c_2≠0y, por lo tanto v_2=0=0v_1

EJEMPLO

Determine si los vectores (■(1@-2@3)),(■(2@-2@0)),(■(0@1@7)) son linealmente dependientes o independientes

Solución

Suponga que c_1 (■(1@-2@3))+c_2 (■(2@-2@0))+c_3 (■(0@1@7))=0=(■(0@0@0)). Entonces multiplicando y sumando se obtiene (■(c_1@〖-2c〗_1@〖3c〗_1 )■(+@-@+)■(〖2c〗_2@〖2c〗_2@0)■(+@+@+)■(0@c_3@〖7c〗_3 ))=(■(0@0@0)). Esto lleva al sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incognitas c_1,c_2 y c_3 :

■(c_1@〖-2c〗_1@〖3c〗_1 )■(+@-@+)■(〖2c〗_2@〖2c〗_2@0)■(+@+@+)■(0@c_3@〖7c〗_3 )■(=@=@=) ■(0@0@0)

Asi, los vectores serán linealmente dependientes si y solo si el sistema tiene soluciones no triviales. Se escribe el sistema usando una matriz aumentada y después se reduce por renglones. La forma escalonada reducida por renglones de (■(1&2&0@-2&-2&1@3&0&7)■(|@|@|) ■(0@0@0))es(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)■(|@|@|) ■(0@0@0)).

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