ESPACIO VECTORIAL

Contenido

INTRODUCCION 2

DEFINICIONES DE ESPACIO VECTORIAL 3

SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES 3

PROPIEDADES DE ESPACIOS VECTORIALES 4

COMBINACIÓN LINEAL. 5

DEPENDENDIA E INDEPENDENCIA LINEAL 6

BASE Y DIMENCIONES 8

CAMBIO DE BASE 9

BASE ORTOGANAL 11

ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO 12

PROSESO DE ORTOGONALIZACION GRAM-SCHMITH 13

TRANSFORMACIÓN LINEAL 14

NUCLEO O IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL 16

Aplicaciones de las transformaciones: reflexión, dilatación, contracción y rotación. 23

VALORES Y VECTORES PROPIOS 27

INTRODUCCION

Espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.

Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería.

Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales.

Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores.

DEFINICIONES DE ESPACIO VECTORIAL

Un conjunto de objetos E se llama espacios vectorial real y sus elementos se llaman vectores, si en este se han definido dos operaciones: a) una suma de vectores (denotada por +) y b) un producto de un número deral por un vector, que tenga las siguientes propiedades:

Un conjunto de objetos E se llama espacio vectorial real y sus

elementos se llaman vectores, si en este se han definido dos operaciones:

a) una suma de vectores (denotada por +) y b) un producto

de un n´umero real por un vector, que tengan las siguientes

propiedades:

SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

DEFINICION

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector Ō, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S. 0

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

• Ō ∈ S.

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

PROPIEDADES DE ESPACIOS VECTORIALES

Unicidad del vector neutro

Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo

supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo

supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro

Producto del escalar 0 por un vector

COMBINACIÓN LINEAL.

En las Matemáticas generales, el término combinación lineal se refiere a una expresión desarrollada a partir de un conjunto de términos específicos, después de la multiplicación de cada término del conjunto por una constante en particular, y posteriormente mediante la suma del resultado. La forma básica de la combinación lineal es ax + by. Aquí tanto a como b son términos constantes particulares. La Combinación Lineal constituye el concepto básico del álgebra lineal.

Entendamos la definición de una manera más precisa. Considere el campo K y el espacio vectorial V, que está sobre K. Suponga que v1 …. vn son vectores juntos con a1…an los cuales son escalares. Por lo tanto, la combinación lineal de los vectores es:

Podría darse el caso que uno se confunda con el significado básico de “Combinación lineal”, es decir, si la Combinación Lineal es un valor o una expresión. Puede verse que en la mayoría básicamente el concepto se refiere a un valor, aunque de vez en cuando se trata como una expresión.

Otro concepto importante que está más o menos relacionado con la Combinación Lineal es la Independencia Lineal. Una familia de vectores se dice que es linealmente independiente cuando ninguno de ellos puede ser escrito con términos de combinación lineal dentro de la variedad de los vectores del conjunto.

La definición más formal y precisa de la Independencia Lineal supone que V denota un espacio vectorial no necesariamente de dimensión finita en un campo arbitrario F. Antes de definir la noción de la dimensión V, primero debemos introducir algunas nociones preliminares, a partir de la Independencia Lineal. De manera informal situamos que, un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como una Combinación Lineal de los otros. En otras palabras, dos vectores son linealmente independientes cuando no se encuentran en la misma línea a través del origen y tres vectores son independientes cuando no se encuentran en el mismo plano a través del origen.

Veamos una definición más profunda de este concepto. Si w1. . . wk están en V. Decimos que w1. . . wk son linealmente independientes (simple o independiente) si y solo si la combinación a1w1 + a2w2 + • • • + akwk = 0, con a1, a2, . . . , ak F es una combinación trivial a1 = a2 = • • • = ak = 0. Si la ecuación a1w1 + a2w2 + • • • + akwk = 0 tiene una solución en la que algunos ai 0, decimos que w1. . , son linealmente independientes (simple o independiente). También diremos que un subconjunto finito S de V es independiente si los vectores contenidos en S son independientes.

Por ejemplo: Supongamos que queremos saber que si los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes o no. Comencemos esta prueba simple: Considere que λ1 y λ2 to son dos números reales que satisfacen (1, 1) λ1 + (−3, 2) λ2 = (0, 0).

Simplificando las coordenadas individualmente, obtenemos

λ1 – 3 λ2 = 0

λ1 + 2 λ2 = 0

Al resolverlo, obtenemos λ1 = 0 y λ2 = 0

DEPENDENDIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Definición: Dependencia lineal.

Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si:

(a) Al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás.

Esto se puede expresar también así:

(b) El vector Ō es combinación lineal de ellos (con coeficientes no todos nulos). Ō

Ejemplo

Sean en los vectores u=(1,1), v=(0,3), w=(2,5) . 2ℜ

Observamos que son linealmente dependientes por (a):

w es combinación lineal de u y v , puesto que w = v+2u.

(pueden encontrarse también otras combinaciones, como u = 12w– 12v , etc).

También podemos verlo por (b):

Ō es combinación lineal de u, v, w puesto que Ō = v+2u–w, (y los coeficientes de esta combinación lineal son 1, 2, –1 que no son todos nulos).

Observación

Si un conjunto es linealmente dependiente, entonces por (a) sabremos que existe algún vector entre ellos que es combinación lineal de los demás. Pero esto no quiere decir que “cualquier” vector de ellos sea combinación lineal de los demás.

Por ejemplo, el siguiente conjunto ℜ3 en podemos comprobar que es ligado: 3ℜ

u=(1,0,0), v=(0,1,0),

...