ESPACIO VECTORIAL

Contenido

INTRODUCCION 2

DEFINICIONES DE ESPACIO VECTORIAL 3

SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES 3

PROPIEDADES DE ESPACIOS VECTORIALES 4

COMBINACIÓN LINEAL. 5

DEPENDENDIA E INDEPENDENCIA LINEAL 6

BASE Y DIMENCIONES 8

CAMBIO DE BASE 9

BASE ORTOGANAL 11

ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO 12

PROSESO DE ORTOGONALIZACION GRAM-SCHMITH 13

TRANSFORMACIÓN LINEAL 14

NUCLEO O IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL 16

Aplicaciones de las transformaciones: reflexión, dilatación, contracción y rotación. 23

VALORES Y VECTORES PROPIOS 27

INTRODUCCION

Espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.

Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería.

Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales.

Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores.

DEFINICIONES DE ESPACIO VECTORIAL

Un conjunto de objetos E se llama espacios vectorial real y sus elementos se llaman vectores, si en este se han definido dos operaciones: a) una suma de vectores (denotada por +) y b) un producto de un número deral por un vector, que tenga las siguientes propiedades:

Un conjunto de objetos E se llama espacio vectorial real y sus

elementos se llaman vectores, si en este se han definido dos operaciones:

a) una suma de vectores (denotada por +) y b) un producto

de un n´umero real por un vector, que tengan las siguientes

propiedades:

SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

DEFINICION

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector Ō, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S. 0

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

• Ō ∈ S.

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

PROPIEDADES DE ESPACIOS VECTORIALES

Unicidad del vector neutro

Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo

supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo

supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro

Producto del escalar 0 por un vector

COMBINACIÓN

...