Examen De Mantenimiento

ƞη=K*(ρ_1-ρ_2 )*t ̅ [N*s/m^2]……[1]

Donde:

ρ_1=densidad de la esfera=2.2 [g/〖cm〗^3 ]=2200[Kg/m^3]

K = 0.09 [mPa*s*〖cm〗^3/(g*s)] = 9*〖10〗^(-8) [Pa*s*m^3/(Kg*s)]= 9*〖10〗^(-8) [Pa*m^3/Kg]= 9*〖10〗^(-8) [(N*m)/Kg]

t ̅=tiempo promedio

ρ_2=densidad para cada temperatura

Para T = 10.6 [°C]: ρH2O = [Kg/m3]

→ η= 9*〖10〗^(-8)*(2200-)*10.45 [N*s/m^2]

→ η=[N*s/m^2]

Para T = 20.4 [°C]: ρH2O = [Kg/m3]

→ η= 9*〖10〗^(-8)*(2200-)*8.22 [N*s/m^2]

→ η= [N*s/m^2]

Para T = 30.1 [°C]: ρH2O = [Kg/m3]

→ η= 9*〖10〗^(-8)*(2200-)*7.54 [N*s/m^2]

→ η= [N*s/m^2]

Para T = 40.2 [°C]: ρH2O = [Kg/m3]

→ η= 9*〖10〗^(-8)*(2200-)*7.16 [N*s/m^2]

→ η= [N*s/m^2]

Para T = 55.4 [°C]: ρH2O = [Kg/m3]

→ η= 9*〖10〗^(-8)*(2200-)*6.51 [N*s/m^2]

→ η= [N*s/m^2]

5.4. Calculo de la viscosidad cinemática:

La viscosidad cinemática será:

µ=η/ρ [m^2/s]………….. [2]

Para T = 10.6 [°C]: ρH2O = [Kg/m3]

→ µ=η/ρ [m^2/s]; → µ=(9.984*〖10〗^(-4))/999.3759 [m^2/s] ; → µ=9.990* 〖10〗^(-7) [m^2/s]

Para T = 20.4[°C]: ρH2O = 998.9106 [Kg/m3]

→ µ=η/ρ [m^2/s]; → µ=(9.232*〖10〗^(-4))/998.9106 [m^2/s] ; → µ=9.242* 〖10〗^(-7) [m^2/s]

Para T = 30.1 [°C]: ρH2O = 996.7780 [Kg/m3]

→ µ=η/ρ [m^2/s]; → µ=(8.100*〖10〗^(-4) )/996.7780 [m^2/s] ; → µ=8.126* 〖10〗^(-7) [m^2/s]

Para T = 40.2 [°C]: ρH2O = 992.5032 [Kg/m3]

→ µ=η/ρ [m^2/s]; → µ=(7.607*〖10〗^(-4) )/992.5032 [m^2/s] ; → µ=7.664* 〖10〗^(-7) [m^2/s]

Para T = 55.[°C]: ρH2O = 988.2280 [Kg/m3]

→ µ=η/ρ [m^2/s]; → µ=(7.023*〖10〗^(-4) )/(988.2280) [m^2/s] ; → µ=7.1067* 〖10〗^(-7) [m^2/s]

5.5. Calculo de velocidades:

Para una distancia= 10 [cm] = 0.1[m]

Para T = 10.6 [°C]:

→ V= m/t [m/s] ; → V= 0.1/10.45 [m/s] → V=0.0096 [m/s]

Para T = 20.4 [°C]:

→ V= m/t [m/s] ; → V= 0.1/8.22 [m/s] → V=0.0122 [m/s]

Para T = 30.1 [°C]:

→ V= m/t [m/s] ; → V= 0.1/7.54 [m/s] → V=0.0133 [m/s]

Para T = 40.2 [°C]:

→ V= m/t [m/s] ; → V= 0.1/7.16 [m/s] → V=0.0140 [m/s]

Para T = 55.4 [°C]:

→ V= m/t [m/s] ; → V= 0.1/6.51 [m/s] → V=0.0154 [m/s]

Según las interpolaciones ya calculadas tenemos que:

Para 0 [ºC] :

ρ_H2O=1004.12 [Kg/m^3]

η=9.99787*〖10〗^(-4) [N*s/m^2]

µ=η/ρ [m^2/s]= (9.99787*〖10〗^(-4))/(1004.12) [m^2/s]= 9.9568*〖10〗^(-7) [m^2/s]

→ V= 0.012 [m/s]

5.6. GRAFICOS:

Grafica Temperatura vs Viscosidad Dinámica.

Grafica de datos sin ajustar:

Tabla Nº2

Magnitud 1 2 3 4 5 6

Temperatura [ºC] 0

13.5 19.5 29.8 39.5 49.3

η [N*s/m^2] 9.998*〖10〗^(-4) 9.984*〖10〗^(-4) 9.232*〖10〗^(-4) 8.100*〖10〗^(-4) 7.607*10-4 7.023*10-4

Como se puede observar la grafica tiene una tendencia exponencial.

Primero para este caso la variable dependiente será: y = η [N*s/m^2] y la variable independiente será: x = Temperatura [ºC]

Para corregir una ecuación exponencial por mínimos cuadrados se usa la ecuación característica:

y=ae^bx……..(3)

Donde :

y= variable dependiente

x= variable independiente

Aplicando logaritmos:

lny=lna+lne^bx → lny=lna+bx

Entonces haciendo que:

lny=Y ; lna=A y bx=bx

Tendremos la ecuación linealizada:

Y=A+bx

Pero antes debemos hallar el valor del logaritmo natural de la variable dependiente como el cálculo es trivial el resultado estará directamente en la tabla

Para luego obtener los valores de A y b con el método de mininos cuadrados.

Entonces la tabla correspondiente será:

TABLA Nº3

Nº x(T)

[ºC] y = η

[Ns/m^2] Y= lny

[Ns/m^2] xY

[ºC][Ns/m^2] x2

[ºC]2 Y2

[Ns/m^2]2 y´=ae^bx

[Ns/m^2] (y-y´)2 [Ns/m^2]2

1 0 9.998*〖10〗^(-4) -6.9079 0 0 47.7190 0.001049 2.42*10-9

2 13.5 9.984*〖10〗^(-4) -6.9094 -93.2769 182.25 47.7398 0.000942 3.18*10-9

3 19.5 9.232*〖10〗^(-4) -6.9877 -136.2601 380.25 48.8279 0.000898 6.35*10-10

4 29.8 8.100*〖10〗^(-4) -7.1185 -212.1313 888.04 50.6730 0.000827 2.89*10-10

5 39.5 7.607*10-4 -7.1813 -283.6613 1560.25 51.5711 0.000765 1.85*10-11

6 49.3 7.023*10-4 -7.2611 -357.9722 2430.49 52.7236 0.000708 3.23*10-11

∑ 151.3 -42.3659 -1081.1664 5423.49 299.2545 6.57*10-9

Para los puntos corregidos se usa la siguientes el método del mínimos cuadrados:

Para la constante b:

b=(n∑▒xy-∑▒x ∑▒y)/(n∑▒x^2 -(∑▒x)^2 )……………..(4)

→b=(6*(-1081.1664)-(151.3)*(-42.3659))/(6*(5423.49)-〖(151.3)〗^2 ); → b=-0.007984

Para la constante a:

A=(∑▒y-b∑▒x)/n………………(5)

→ A=(-42.3659-(-0.007984*151.3))/6; → A=-6.85966

Coeficiente de correlación ”r”:

Si r = 0 entonces no existe correlación lineal

Si ‖r‖ = 1 entonces existe total correlación entre la (V.D) y la (V.I.)

Cuanto más próximo este ‖r‖ a 1, mejor será la aproximación lineal encontrada.

Es evidente que cuanto más próximo este a 0, la aproximación lineal es deficiente

r=(n∑▒〖xy-∑▒x ∑▒y〗)/√([n∑▒〖x^2-〖(∑▒x)〗^2 〗]*[n∑▒y^2 -〖(∑▒y)〗^2 ] )……….(6)

→ r=(6*(-1081.1664)-(151.3)*(-42.3659))/√([6*(5423.49)-〖(151.3〗^()2) ]*[6*(299.2545)-〖(-42.3659)〗^2]); → ‖r‖=0.967

Como r~1; existe total correlación lineal entre “x” e “y”.

a=0.00104927

Nuestra ecuación de ajuste para este caso particular es:

y=ae^bx

donde: b = -0.007984 y ahora necesitamos a

Pero: lna=A; →a=e^A; →a=e^(-6.85966) →

La ecuación de ajuste será:

y=0.00104927e^(-0.007984x)

Con esta ecuación encontramos el y estimado cuyo resultado esta en la tabla Nº3

Grafica de datos corregidos o ajustados:

Como podemos apreciar se ajusto la tendencia exponencial de manera adecuada

Y para 0 [ºC] se tendrá una viscosidad dinámica aproximada de:

η=1.049*〖10〗^(-3) [N*s/m^2]

Grafica Temperatura vs Viscosidad Cinemática:

Grafica de datos sin ajustar:

TABLA Nº4

Magnitud 1 2 3 4 5 6

Temperatura [ºC] 0 13.5 19.5 29.8 39.5 49.3

µ [m^2/s] 9.956*〖10〗^(-7) 9.990* 〖10〗^(-7) 9.242* 〖10〗^(-7) 8.126*〖10〗^(-7) 7.664*〖10〗^(-7) 7.107*〖10〗^(-7)

Como se puede observar la grafica tiene una tendencia exponencial

Primero para este caso la variable dependiente será: y = µ=η/ρ [m^2/s] y la variable independiente será: x = Temperatura [ºC]

Para corregir una ecuación exponencial por mínimos cuadrados se usa la ecuación característica:

y=ae^bx……..(3)

Donde :

y= variable dependiente

x= variable independiente

Aplicando logaritmos:

lny=lna+lne^bx → lny=lna+bx

Entonces haciendo que:

lny=Y ; lna=A y bx=bx

Tendremos la ecuación linealizada:

Y=A+bx

Pero antes debemos hallar el valor del logaritmo natural de la variable dependiente como el cálculo es trivial el resultado estará directamente en la tabla

Para luego obtener los valores de A y b con el método de mininos cuadrados.

Entonces la tabla correspondiente será:

TABLA Nº5

Nº x(T)

[ºC] y = µ

[m^2/s] Y= lny

[m^2/s] xY

[ºC][m^2/s] x2

[ºC]2 Y2

[m^2/s]2 y´=ae^bx

[m^2/s] (y-y´)2 [m^2/s]2

1 0 9.956*〖10〗^(-7) -13.8199 0 0 190.9896 1.045*10-6 2.44*10-15

2 13.5 9.990* 〖10〗^(-7) -13.8165 -186.5228 182.25 190.8957 9.421*10-7 3.24*10-15

3 19.5 9.242* 〖10〗^(-7) -13.8943 -270.9389 380.25 193.0516 8.998*10-7 5.95*10-16

4 29.8 8.126*〖10〗^(-7) -14.0230 -417.8854 888.04 196.6445 8.314*10-7 3.53*10-16

5 39.5 7.664*〖10〗^(-7) -14.0816 -556.2232 1560.25 198.2914 7.718*10-7 2.92*10-17

6 49.3 7.107*〖10〗^(-7) -14.1570 -697.9401 2430.49 200.4206 7.159*10-7 2.70*10-17

∑ 151.3 -83.7923 -2129.510 5423.49 1170.2935 6.68*10-15

Para los puntos corregidos se usa la siguientes el método del mínimos cuadrados:

Para la constante b:

b=(n∑▒xy-∑▒x ∑▒y)/(n∑▒x^2 -(∑▒x)^2 )……………..(4)

→b=(6*(-2129.5103)-(151.3)*(-83.7923))/(6*(5423.49)-〖(151.3)〗^2 ); → b=-0.0076718

Para la constante a:

A=(∑▒y-b∑▒x)/n………………(5)

→ A=(-83.7923-(-0.0076718*151.3))/6; → A=-13.771542

Coeficiente de correlación ”r”:

Si r = 0 entonces no existe correlación lineal

Si ‖r‖ = 1 entonces existe total correlación

...