Formula de moivre.

Fórmula de De Moivre

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

[pic 1]

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Índice

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Obtención[editar]

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

[pic 2]

aplicando leyes de la exponenciación

[pic 3]

Entonces, por la fórmula de Euler,

[pic 4].

Algunos resultados[editar]

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

[pic 5]

Si hacemos que [pic 6] entonces tenemos la identidad de Euler:

[pic 7]

Es decir:

[pic 8]

Además como tenemos estas dos igualdades:

[pic 9]

[pic 10]

podemos deducir lo siguiente:

[pic 11]

[pic 12]

Demostración por inducción[editar]

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

[pic 13]

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

[pic 14]

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

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