Fracciones Algebraicas

4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b (divisor).

Fracción algebraica simple

Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:

.

Fracción propia e impropia

Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Por ejemplo, son fracciones propias, mientras que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:

Significados de una fracción

Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o bien 3¸4. Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.

Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común.

Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, ¾ puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas.

Numerador o Denominador Nulo

Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción para x = 5 vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.

Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es imposible. Por ejemplo 3¸0 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la fracción 5¸x es imposible o bien 5/x carece de sentido.

4.2 PROPIEDADES

Fracciones equivalentes

Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula.

Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que:

Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y denominador. Por ejemplo son fracciones equivalentes porque

Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, la fracción no varía.

Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10

Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x

Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero, la fracción no varía.

Tanto 400 como 500 se han divido entre 100

Tanto 7a2 como 9a2 se han divido entre a2

Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:

2 5 x 4x x-3 x2 x2+x-3

Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador:

2 5 x 4x x2 20x2

El reciproco de un número

El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=1¸2/3

Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene permutando numerador y denominador.

Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo ,

Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo ,

Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por la fracción reciproca. Por ejemplo para resolver la ecuación , se multiplican ambos miembros por . Es decir de donde x = 15

Forma estándar de una fracción

se escribe como se escribe como se escribe como

se escribe como se escribe como se escribe como

Las formas y se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen fracciones.

4.3 SIMPLIFICACIÓN

Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes:

Ejemplo

Simplificar la fracción

SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores comunes a ellos:

Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el primer termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo denominador es el divisor.

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica

SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

xy

-18x3y

12x2y2

6xy3

-6xy3

Así pues =

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica

SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

2x

-2x4 3x3-4x-3

-8x2 - 6x +1

8x2

6x +1

-6x +1

1

Como la división no es exacta tendremos

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción

SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

-3

Como la división es inexacta. Tendremos =

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión

SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es , entonces:

Ejemplo

Reducir a su más simple expresión

SOLUCIÓN:

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión

SOLUCIÓN:

Ejemplo

Reducir a su mínima expresión

SOLUCIÓN:

Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la expresión algebraica mixta.

Ejemplo

Reducir a fracción algebraica

SOLUCIÓN: Tendremos:

Que es el numerador de la fracción algebraica.

Así pues,

Ejemplo

Reducir a fracción algebraica

SOLUCIÓN: Tendremos:

Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues,

Ejemplo

Reducir a fracción algebraica

SOLUCIÓN: Tendremos:

Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues,

Fracciones Irreducibles

Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores (divisores), comunes que la unidad.

Por ejemplo no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es un divisor de ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible.

Para hallar la fracción irreducible de una dada.

1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador).

2.- Dividir ambos términos por cada factor común.

Ejemplo

Reducir:

Soluciones

Propiedad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1

,

Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1.

, ,

Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios comunes

Ejemplo

Reducción de

...