GUÍA PROPUESTA.Matematicas

GUÍA PROPUESTA.

11.1 Comentarios Introductorios

Hay que señalar que se optó por usar el término Guía puesto que éste término es idóneo para el trabajo que se quiere diseñar. En esta propuesta se encuentran ejercicios resueltos desde los tres modos de pensamiento GGC, AO y AE. En cada ejercicio se ha ubicado los modos de pensamiento haciendo énfasis la forma  ver y entender nuestro objeto de estudio, la derivada.

El objetivo fundamental de la guía está enmarcado dentro nuestro objetivo general “Contribuir a la formación de Licenciados en Matemáticas con una mirada reflexiva referente a la manera en que los estudiantes comprenden el concepto de derivada”

Específicamente los ejercicios se  proponen para averiguar en qué forma el estudiante comprende la derivada de una función en un punto, esto acompañado un análisis previo de funciones particulares y la derivada en uno o más puntos de la misma.

Los materiales, aspecto a resaltar, usados en este trabajo corresponden al uso del Software matemático, interactivo, libre: GeoGebra.[pic 1]

Sugerencias:

• Se hace necesario estar familiarizado mínimamente con el Sofware GeoGebra

• Prestar atención los ejercicios resueltos tratados desde cada modo de pensamiento.
• Apóyese en la gráficas dadas para trabajar sobre los ejercicios propuestos mostrando en lo posible desde qué modo de pensamiento se plantea la solución al problema.

11.2 Ejercicios Resueltos (Sensibilización)

Ejemplo 1. (Anton, Bivens, & Davis, 2010) Pág. 102-103.

1. Determine la ecuación de la Recta tangente a  en el punto .[pic 2][pic 3]

Con esta pregunta se espera comprobar si el estudiante reconocen la derivada de   como la pendiente de la recta tangente a  en .[pic 4][pic 5][pic 6]

El estudiante que se halle en el modo G.G.C, utilizando la ecuación punto pendiente reemplazará las coordenadas de  en  para hallar la pendiente de la recta que pasa por .[pic 7][pic 8][pic 9]

.[pic 10]

 Luego, por   y un punto cualquiera  ,  de coordenadas  por pertenecer a la parábola, pasa una recta secante con pendiente:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Ahora si se hace que se mueva sobre la parábola, acercándose cada vez más a P, entonces la posición límite  de la recta secante que pasa por   y  coincidirá con la recta tangente en P (Anton, Bivens, & Davis, 2010).  Puede estar a la derecha o izquierda de  y acercarse  en dichos sentidos. Esta situación se puede visualizar en la siguiente tabla:[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

[pic 23][pic 24]

Como , el cociente  se acerca cada vez más a 2 (ver Tabla) cuando  se acerca cada vez más a 1. Así,   y al reemplazarlo en la ecuación punto pendiente tenemos  .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

El estudiante que se halle en el modo A.O, interpretará el límite del cociente diferencial   como la pendiente de la recta tangente a la curva  .[pic 30][pic 31]

Una vez hallada la expresión , se debe calcular   y al sustituirlo en la ecuación punto pendiente se obtiene  para hallar la pendiente de la recta que pasa por .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Así.

[pic 36]

[pic 37]

 [pic 38]

Entonces  ,  la ecuación de la recta tangente  es:[pic 39][pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

El estudiante que se halle en el modo A.E, recurrirá a las propiedades del operador derivada para calcular . En particular la Regla de la Potencia:[pic 43]

, para [pic 44][pic 45]

Así, para

[pic 46]

Se tiene que

[pic 47]

 Con [pic 48][pic 49]

[pic 50]

Sustituyendo en la ecuación punto pendiente,

[pic 51]

[pic 52]

A continuación se presenta una alternativa para determinar la expresión correspondiente a  a partir de propiedades geométricas de la gráfica de ; un análisis en detalle puede consultarse en (Gómez, 2009).  [pic 53][pic 54]

11.3 Construcción de la gráfica de la derivada la una función (Gómez, 2009).

En particular para la derivada de una  función cuadrática  .  A manera de ejemplo se analiza la función  .[pic 55][pic 56]

Teniendo la gráfica de  se elije  sobre el eje , el cual permitirá determinar la derivada de  cuando , es decir el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto.[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

[pic 62]

El punto  del plano de  coordenadas  el cual describe la gráfica de , ver Fig.3 se sujeta a las siguientes condiciones:[pic 63][pic 64][pic 65]

•  equidista de los puntos D y J’;  D y J’  extremos de , con     [pic 66][pic 67]

  D [pic 68]

•  con  coordenadas   es la reflexión respecto a    de J.[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

Ahora se verifica que  es punto medio de . Los puntos a tener en cuenta son[pic 73][pic 74]

[pic 75],

[pic 76]

Luego se debe calcular   y , justamente[pic 77][pic 78]

[pic 79]

Realizando los respectivos cálculos se obtiene

[pic 80]

Así  tiene coordenadas [pic 81][pic 82]

Para  dada , se tiene[pic 83][pic 84]

[pic 85]

Calculando se obtiene

[pic 86]

Ahora las coordenadas de   son .[pic 87][pic 88]

Para hallar el punto medio de  se tiene [pic 89]

 [pic 90]   (*)

Sustituyendo las coordenadas de  y  en (*) obtenemos[pic 91][pic 92]

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