INVESTIGACIÓN 1 – ANÁLISIS MATEMÁTICO

Nombre: Alfonso Enrique Valverde Guerrero

Docente: Freddy Javier Tejada Escobar

INVESTIGACIÓN 1 – ANÁLISIS MATEMÁTICO

• TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

• ¿Cuál es su utilidad?

La integración es una herramienta muy importante del cálculo, no solo sirve para determinar áreas en regiones planas y curvas, y representar magnitudes físicas

hasta el siglo XIX por Agustín LouisCauchy (1789-1857). La explicación es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación inversa de la derivación; el cálculo integral radicaba esencialmente en el cálculo de primitivas.

Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de definir matemáticamente los conceptos de área y de volumen.

• Algunas técnicas para determinar las antiderivadas:

• Integración por partes

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, qué se puede tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula

:∫∫udv=uv−vdu

La integración por partes es una técnica para simplificar integrales de la formaEs útil cuandofes derivable de manera repetida yges integrable repetidamente sin dificultad.Las integralesson ejemplos de tales integrales, dondef(x)5xof(x)5x2pueden derivarse repetidamentehasta convertirse en cero, yg(x)5cosxog(x)5expuede integrarse de manera repetida sin di-ficultad. La integración por partes también se aplica a integrales comoEn el primer caso,f(x)5lnxes fácil derivar yg(x)51 es fácil de integrar, para darx. En el se-gundo caso, cada parte del integrando aparece una y otra vez después de derivaciones e integra-ciones sucesivas.Regla del prod

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El objetivo de la integración por partes es pasar de una integral S u dy que no vemos como evaluar, a una integral que sí podamos evaluar. Por lo general, primero se eligequedysea tanto del integrando, incluyendo adx, como sea posible integrar fácilmente;uesla parte restante. Al determinarya partir dedy, cualquier antiderivada funcionará, pero porlo regular elegimos la más sencilla; no se necesitan constantes de integración eny, ya que secancelarían en el lado derecho de la ecuación.

• Integración tabular

Hemos visto que las integrales de la formaf(x)g(x)dx, en las quefse deriva de forma re-petida hasta volverse cero ygse integra varias veces sin dificultad, son candidatas naturalespara integración por partes. Sin embargo, si se requieren muchas repeticiones, los cálculos pue-den volverse pesados, o tal vez usted elija sustituciones para una integración repetida por partesque termine por regresar a la integral original que se trata de encontrar. En situaciones comoésta, existe una manera de organizar los cálculos que evita estas fallas y hace el trabajo muchomás sencillo. Se denominaintegración tabulary se ilustra en los siguientes ejemplos.

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