Integracion

Introducción:

El presente ensayo de la unidad dos de la asignatura de ecuaciones diferenciales trata acerca de los métodos fundamentales de integración, en los cuales se contemplan tres métodos que son: el método de integración por partes, el método de integración por sustitución trigonométrica y el método de integración por funciones racionales.

Dichos métodos son aplicados en el cálculo diferencial cuando las diferenciales que se presentan no pueden ser integradas por medio de la aplicación directa de las fórmulas de integrales inmediatas.

El objetivo de la integración por partes es de transformar las diferenciales que deben de ser integradas a una forma que sea fácil de integrar por medio de fórmulas de integración inmediata.

Explicación del tema:

El primer método de integración que trataremos es el método de integración por partes en el cual se hace presente la siguiente fórmula:

ᶴ u dv = u v -- ᶴ v du

Dicha fórmula es llamada fórmula de integración por partes en la cual se maneja una función y una diferencial de una función distinta que contienen la misma variable independiente, dichas funciones deben de recibir un tratamiento distinto pues a la función se le deberá de obtener su derivada y la diferencial que se presente deberá de integrarse y al obtener los dos valores necesarios se podrá utilizar la fórmula de integración por partes para transformar la integral de manera que pueda integrarse por formulas conocidas y obtener la integral de dichas funciones.

Otro método de integración es el método de integración por sustitución trigonométrica el cual se basa en la relación que existe entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

En la resolución de integrales con este método se debe de transformar la variable de modo que sea conveniente para realizar la integración, existen tres casos de integración por sustitución trigonométrica y dependiendo de ellos es con la función trigonométrica que se trabajara.

Primer caso: en este caso la variable u se transformara en u= a sen z

Segundo caso: en este caso la variable u se transformara en u = a tg z

Tercer caso: en este caso la variable u se transformara en u = a sec z

Después de realizar las transformaciones convenientes y obtener una función más sencilla se puede integrar.

El tercer método de integración es el método de integración por funciones racionales, en este método la diferencial que se va a integrar se debe de descomponer por medio de la factorización a funciones más simples para ser integradas.

Existen tres casos en este tipo de integración, el primer caso es cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ningún factor se repite, en dicho caso lo primero que se debe de hacer es que el denominador se debe de descomponer por medio de factorización y después la fracción se toma como una suma algebraica en la cual se debe de determinar el valor de las constantes que quedaran como numeradores sobre las partes de la función que fue factorizada por último se deben de quitar denominadores y obtener sistemas de ecuaciones para conocer los valores de nuestras constantes.

El segundo caso es cuando los factores del denominador son todos de primer grado, y algunos se repiten, en estos casos se plantea algo similar al primer caso a diferencia que en este a los factores que se repiten n veces les corresponderá n suma de fracciones parciales con diferentes constantes a conocer.

El tercer caso es cuando los factores del denominador son de segundo grado y ninguno se repite, en estos casos a cada factor que no se encuentra repetido le corresponderá una fracción diferente en la cual se quitaran denominadores para transformar en funciones más sencillas y poder integrar.

Por último el cuarto

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