LOGICA PROPORCIONAL

Apuntes de L´ogica Matem´atica

1. L´ogica de Proposiciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Abril de 2005

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

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Lecci´on 1

L´ogica de Proposiciones

Contenido

1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Proposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Valor de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Proposici´on Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Variables de Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Conexi´on entre Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Conjunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Disyunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Disyunci´on Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Negaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.5 Tautolog´ıas y Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.6 Proposici´on Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.7 Proposici´on Rec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.8 Proposici´on Contrarrec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.9 Proposici´on bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Implicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Implicaci´on L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 Implicaci´on L´ogica y Proposici´on Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 Implicaciones L´ogicas m´as Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Equivalencia L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Proposiciones L´ogicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2 Equivalencia L´ogica y Proposici´on Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3 Equivalencias L´ogicas m´as Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqu´e. El robo no ha

sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareci´o. ¿Fue

por motivos pol´ıticos, o fue una mujer? Esta es la pregunta

con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia

esta ´ultima suposici´on. Los asesinatos pol´ıticos se complacen

demasiado en hacer su trabajo y huir. Este asesinato, por el

contrario, hab´ıa sido realizado muy deliberadamente, y quien lo

perpetr´o ha dejado huellas por toda la habitaci´on, mostrando

que estuvo all´ı todo el tiempo.

Arthur Conan Doyle. Un Estudio en Escarlata. 1887

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La estrecha relaci´on existente entre la matem´atica moderna y la l´ogica formal es una de sus caracter´ısticas

fundamentales. La l´ogica aristot´elica era insuficiente para la creaci´on matem´atica ya que la mayor parte

de los argumentos utilizados en ´esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extra˜nos

en aquella.

En esta primera lecci´on de l´ogica estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna

l´ogica formal: la l´ogica de enunciados o de proposiciones.

1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad

En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´atica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen

un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

1.1.1 Proposici´on

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmaci´on que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a

la vez.

Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel Garc´ıa M´arquez escribi´o Cien a˜nos de soledad.

(b) 6 es un n´umero primo.

(c) 3+2=6

(d) 1 es un n´umero entero, pero 2 no lo es. 

Nota 1.1 Las proposiciones se notan con letras min´usculas, p, q, r . . . . . . La notaci´on p :Tres m´as

cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposici´on “tres m´as cuatro es igual a siete”.

Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Ejemplo 1.2 Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y > 5

(b) ¿Te vas?

(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.

(d) x = 2

Soluci´on

En efecto, (a) es una afirmaci´on pero no es una proposici´on ya que ser´a verdadera o falsa dependiendo

de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmaci´on (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones,

por lo tanto no son proposiciones. 

Desde el punto de vista l´ogico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados,

solamente interesa su valor de verdad.

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1.1.2 Valor de Verdad

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposici´on a su veracidad o falsedad. El valor de

verdad de una proposici´on verdadera es verdad y el de una proposici´on falsa es falso.

Ejemplo 1.3 D´ıgase cu´ales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de

verdad de aquellas que lo sean.

(a) p: Existe Premio Nobel de inform´atica.

(b) q: La tierra es el ´unico planeta del Universo que tiene vida.

(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicaci´on.

(d) s: Cinco m´as siete es grande.

Soluci´on

(a) p es una proposici´on falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposici´on ya que desconocemos si esta afirmaci´on es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposici´on ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposici´on ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco

ni˜nas m´as siete ni˜nos es un n´umero grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas

de cinco cinco c´entimos m´as siete monedas de un c´entimo no constituyen una cantidad de dinero

grande. 

1.1.3 Proposici´on Compuesta

Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposici´on P, diremos que P

la es una proposici´on compuesta de p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo 1.4 “La Matem´atica Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor”

es una proposici´on compuesta por las proposiciones “La Matem´atica Discreta es mi asignatura preferida”

y “Mozart fue un gran compositor”.

“El es inteligente o estudia todos los d´ıas” es una proposici´on compuesta por dos proposiciones: “El es

inteligente” y “El estudia todos los d´ıas”. 

Nota 1.2 La propiedad fundamental de una proposici´on compuesta es que su valor de verdad est´a

completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con

la forma en que est´an conectadas.

1.1.4 Variables de Enunciado

Es una proposici´on arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o

falsa.

En el c´alculo l´ogico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de

enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles

estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposici´on p, los representaremos

en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L.Wittgenstein1.

1Ludwig Wittgenstein (Viena 1889-Cambridge 1951), nacionalizado brit´anico en 1938. Estudi´o Ingenier´ıa Mec´anica en

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1.1.5 Tablas de Verdad

La tabla de verdad de una proposici´on compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los

valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo 1.5 Por ejemplo, si P es una proposici´on compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y

p3, entonces la tabla de verdad de P deber´a recoger los siguientes valores de verdad.

p1 p2 p3

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

1.2 Conexi´on entre Proposiciones

Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre s´ı. Prestaremos especial

atenci´on a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las

distintas conexiones.

1.2.1 Conjunci´on

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunci´on de ambas a la proposici´on compuesta

“p y q” y la notaremos p ^ q. Esta proposici´on

...