LOGICA PROPORCIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

INTRODUCCIÓN: La Lógica estudia la forma de razonamiento. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber, en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet,…). Los sistemas lógicos se han presentado  como herramientas que deberán llevar a cabo la representación de afirmaciones y el razonar y deducir de manera simbólica.

La lógica proposicional  es un primer tipo de sistema lógico, en el que se manejan afirmaciones con una estructura de complejidad bastante simple. Por ser así de simple, en la lógica proposicional es fácil definir y entender qué es ser verdad, cuando una afirmación es cierta, cuando vale en cualquier escenario, y muchos otros conceptos interesantes. Es un primer peldaño de una escala de sistemas lógicos en la que los peldaños más altos incluyen a los más bajos, ganando en expresividad pero también en complejidad.

LOGICA PROPOSICIONAL

ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea.

PROPOSICIÓN: Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: [pic 2]

Ejemplo:

• Túpac Amaru murió decapitado : p
• 9 :q[pic 3]
• 45 = 3 – 2: r

ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

Ejemplo:

Si: [pic 4]

Se cumple que:                             [pic 5][pic 6]

El valor de verdad de  depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.[pic 7]

CLASES DE PROPOSICIONES:

1. Proposición Simple: son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación.

Ejemplo:         * Cincuenta es múltiplo de diez.

1. Proposición Compuesta: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación.

Ejemplo:        *29 es un número primo y 5 es impar.

CONECTIVOS LOGICOS: Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta.

Los conectores lógicos que usaremos son:

TABLA DE VALORES LÓGICOS:

El uso de los operadores  se da en el diseño de las computadoras.[pic 21]

• Los coligadores de la conjunción, son: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, “más aún”, etc.
• Los coligadores de la condicional, son: “Si… entonces…”, “es suficiente que… para que…”; adicionalmente las expresiones: “cuando”, “solo cuando”, “cada vez que”, “dado que”, “puesto que”, “siempre que”, etc. Son coligadores condicionales también. Se caracterizan porque después de estos términos está el antecedente .La coma es un enunciado que expresa una condicional.
• Los coligadores de la bicondicional, son:”si y solo si…entonces…”, “Es suficiente y necesario que…para que…”, “… siempre y cuando…”, etc.

Ejemplos:

1. Simbolizar la siguiente proposición: “Si fumo demasiado entonces me duele la garganta, y me duele la garganta, por lo tanto fumo demasiado”
2. Simbolizar la siguiente proposición: “Si el triángulo tiene dos lados iguales, entonces el triángulo se llama isósceles y el triángulo no se llama isósceles, luego el triángulo no tiene dos lados iguales”
3. Simbolizar la siguiente proposición: “Si yo trabajo , gano dinero, y si no trabajo entonces me divierto por lo tanto si no gano dinero me divierto”
4. Una madre ha prometido a su hijo “Si comes espinacas y el hígado entonces podrás salir a jugar”.

El niño sólo come las espinacas, pero la madre le permite salir a jugar. ¿Ha “roto” la madre su promesa?

1. Simbolizar:

“Si Julieta es española entonces es aficionada a la fiesta brava y Julieta no es aficionada a la fiesta brava por lo tanto, no es española”. Elaborar su tabla de verdad.

Ejercicios – Lógica Proposicional

1. Se sabe que:  y se afirma [pic 22]

1. [pic 23]
2. [pic 24]
3. [pic 25]

1. Haciendo uso de la tabla de valores resolver:

1. [pic 26]
2. [pic 27]
3. [pic 28]

1. Si la proposición:  .Hallar los valores de  en ese orden.[pic 29][pic 30]
2. Si [pic 31]
3. Si la proposición:  . Deducir el valor de verdad de: [pic 32][pic 33]
4. Si la proposición: . Hallar el valor de verdad de las siguientes formulas:[pic 34]

1. [pic 35]
2. [pic 36]
3. [pic 37]

1. Si .Hallar :[pic 38]

1. [pic 39]
2. [pic 40]

1. Si la proposición: . Hallar: [pic 41][pic 42]
2. Si la proposición: Hallar: [pic 43][pic 44]

1. [pic 45]
2. [pic 46]
3. [pic 47]

1. Si la proposición: .Hallar: [pic 48]

1. [pic 49]
2. [pic 50]

1.  Si la proposición: . Hallar: [pic 51][pic 52]
2. Dado el siguiente esquema: . Hallar el valor de: [pic 53][pic 54]
3. Si el esquema mostrado: . Halle:[pic 55]

1. [pic 56]
2. [pic 57]
3. [pic 58]

1. Si: .Hallar: [pic 59][pic 60]
2. Si: .Hallar: [pic 61][pic 62]

1. Siendo las proposiciones:

[pic 63]

               Se pide escribir en lenguaje simbólico cada una de las siguientes proposiciones:

1. Luz es estudiosa y Milagros es inteligente.
2. Luz no estudia o Milagros es inteligente.
3. Si Milagros es inteligente, entonces Luz es estudiosa.
4. No es cierto que luz sea estudiosa ni es cierto que Milagros sea inteligente.
5. Si Luz es estudiosa, entonces Milagros es inteligente.
6. Luz es estudiosa si y sólo si Milagros no es inteligente.

1. Determine el de verdad de las siguientes proposiciones:

1. 5 es un número par y entero
2. 8 es un número impar a la vez que el doble de 4
3. Juan será deportista o artista
4. O Eduardo es ingeniero o es abogado
5. O Vargas Llosa es autor de casa verde o es autor de la odisea
6. No ocurre que éste sea mi mejor día
7. Es imposible que hoy no anote un gol
8. Es imposible que no trabaje y no tenga plata
9. Si Pedro termina sus estudios entonces será un profesional
10. Si los monos son humanos entonces la tierra es plana
11. Juna no está bien de salud porque no se cuido
12. 14 es múltiplo de  puesto que 14 es número par
13. Lucy aprobará el ciclo si y solo si obtiene notas aprobatorias

1. Simbolizar:

1. “José llego tarde, sin embargo dio examen”
2. “Maradona jugó, aunque estuvo lesionado”
3. “si 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 3, entonces , 9+12 es múltiplo de 3”
4. “No es el caso que Pedro baile y no cante”
5. “Manuel es juez pero honesto”
6. Las computadoras son caras, sin embargo son muy útiles.
7. 3 es menor que 5, pero mayor que 1.
8. El profesor no controló la asistencia puesto que la oficina de la dirección del colegio estaba cerrada y no estaba el portero”

Observación: Cuando en un párrafo se encuentran los términos:

“porque, puesto que, ya que, siempre que, cuando, si, cada vez que, dado que”; estos términos, también, son conectivos condicionales. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el antecedente.

1. Pedro compra un libro sólo cuando tiene dinero.
2.  Doy examen sólo cuando estudio.
3. Iré de viaje y me divertiré, si me saco la lotería.
4. Se apagaron las luces porque se interrumpió el fluido eléctrico.
5.  Roberto aprobará el curso puesto que dio buen examen.
6. El número entero b es primo, si b es divisible por 1 y por si mismo.
7.  Proposición Recíproca:

- Si hoy es sábado, mañana es domingo.

• Si mañana es domingo, hoy es sábado.

1. Proposición inversa o contrario:

• a es positivo, si a es mayor que cero.
• a no es positivo, si a no es mayor que cero.

1.  La Negación:

• “no es el caso que Newton fue matemático y filósofo”
• “es falso que pelé jugó en Asia y no estudió en África”
• “Es falso que una buena bicicleta no es barato”
• “No es el caso que un libro caro es bueno”

1.  Si me aumentan el sueldo y ahorro, viajaré al cuzco.
2.  O Cubillas juega si le contrate el Alianza Lima, o habrá protesta si no juega.
3.  Las personas nadarán en el mar si la municipalidad da el permiso, si y sólo si el clima no está frío.
4. “Sin juan participa en un comité electoral de la universidad entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité electoral de la universidad entonces las autoridades universitarias se enojaran con él. Pero, Juan participará en un comité electoral de la universidad o no participará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él”

1.  “Si Anito decía la verdad, entonces Sócrates corrompía a la juventud y si el tribunal lo condenó equivocadamente, entonces Anito no es el culpable. Pero, Sócrates no corrompía a la juventud o Anito es el culpable. Por lo tanto Anito no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates equivocadamente”

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las que llamaremos leyes del álgebra proposicional.

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