LOS NÚMEROS PRIMOS

LOS NÚMEROS PRIMOS

¿QUÉ ES UN NÚMERO PRIMO?

"Los números primos son aquellos números enteros que sólo son divisibles por si mismos y por la unidad". Ejemplos: 1,2,3,5,7,11,13,17,19..., -1,-2,-3,...

UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia aparecen numerosos estudios.

Los pitagóricos tuvieron gran interés por ellos debido a que pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y "mágicas". Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser "adorados" por los discípulos de Pitágoras.

En el libro "Los Elementos" de Euclides (300 a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, ya aparecen estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos:

Teorema.- Hay infinitos números primos.

Si quieres puedes ver la prueba que hace Euclides de este teorema. Se trata, posiblemente, de la primera demostración conocida mediante el método de reducción al absurdo; y este método consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere probar para llegar a una contradicción descubriendo falsa la suposición hecha.

Hubo, y sigue habiendo muchos intentos para determinar qué números son primos. Uno de los primeros que se conocen es un procedimiento heurístico debido a otro importante matemático griego llamado ERATÓSTENES.

La Criba de Eratóstenes

La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número.

Para obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, a partir del 2, se van marcando (nosotros los hemos puesto de amarillo) todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. Los números que quedan sin color amarillo (los que están en rojo), son los números primos.

Los números en color rojo son primos.

Los números en color amarillo no son primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

LA FACTORIZACIÓN

(ejemplo de uso de los números primos)

La factorización de los números naturales consiste en descomponer un número entero cualquiera en producto de números primos.

La descomposición de los números de su factores primos facilita la determinación de su m.c.d. y m.c.m. Ejemplo:

Una vez realizada la factorización hemos calculado el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

El m.c.d. es aquel número mayor y común que divide a todos ellos.

El m.c.m. es aquel número menor y común que es múltiplo a todos ellos.

Para calcular el m.c.d. se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican.

Para calcular el m.c.m. se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican. (La solución del m.c.d. y del m.c.m. está realizado en el ejemplo de arriba)

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

• Los axiomas algebraicos

• Los axiomas de orden

• El axioma topológico.

El primero, trata

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