La función cuadrática

Parte 3. La función cuadrática

De manera individual realiza la lectura de “La función cuadrática” del libro de texto Matemáticas 3. Con base en la lectura anterior contesta las siguientes preguntas y coméntenlas en sesión plenaria:

1. ¿Cuál es la ecuación general de la función cuadrática?

1. ¿En qué equipo de función se convierte la ecuación general de la función cuadrática si el coeficiente de x2 es igual a cero?

1. Transforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación de una función cuadrática.

1. y = (x-4)(x+3)+7
2. y = (x-3)2
3. y = 2x (x-7) +5

4. Para ver el efecto que tiene el signo del coeficiente de x2 en la gráfica de una función cuadrática, grafica las funciones y = x2 y y = -x2. Puedes usar el programa GeoGebra para graficarlas o según como lo indique tu profesor.

Con base en las gráficas realizadas, responde las siguientes preguntas:

1. ¿Qué nombre recibe la gráfica de una función cuadrática?

1. ¿Hacia dónde abre la gráfica si el coeficiente “a” es positivo?

1. ¿Hacia dónde abre la gráfica si el coeficiente “a” es negativo?

5. Para ver el efecto que tiene el coeficiente de x2 en la “forma” de la gráfica de una función cuadrática, grafica las funciones, y = ½ x2, y = x2 y y = 2x2. Puedes usar el programa GeoGebra para graficarlas o según como lo indique tu profesor.

Con base en las gráficas realizadas, ¿qué concluyes acerca de la forma de la parábola si el valor del coeficiente “a” aumenta? ¿Qué concluyes acerca de la forma de la parábola si el valor del coeficiente “a” disminuye?

6. Para ver otra característica de la gráfica de una función cuadrática responde las siguientes preguntas:

1. Una ecuación cuadrática de la forma ax2+bx+c=0 puede ser resuelta empleando la “fórmula general cuadrática”, ¿cuál es la expresión de esta fórmula?

1. En la formula anterior, ¿a  qué se le llama “discriminante”?

1. El valor del discriminante también influye en el comportamiento de la gráfica de una función cuadrática. Para ver este comportamiento grafica y determina el valor del discriminante de las siguientes funciones cuadráticas:

y = x2+x-6, y=x2-6x+9 y y=x2+3

Con base en el valor del discriminante que obtuviste y a la gráfica correspondiente, responde:

• Si el discriminante es positivo (b2-4ac>0), ¿cuántas intersecciones tiene la parábola con el eje X? ¿Qué puedes decir acerca de las soluciones de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0?

• Si el discriminante es cero (b2-4ac=0), ¿cuántas intersecciones tiene la parábola con el eje X? ¿Qué puedes decir acerca de las soluciones de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0?

• Si el discriminante es negativo (b2-4ac<0), ¿cuántas intersecciones tiene la parábola con el eje X? ¿Qué puedes decir acerca de las soluciones de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0?

• ¿Cómo se llama al único punto de la parábola donde para cada valor de y existe un solo valor de x?

• ¿Cuál es la fórmula para calcular la coordenada “x” del vértice de la gráfica de la función cuadrática? Conocido este valor, ¿cómo calculas el valor de la coordenada “y” del vértice de la parábola?

• Determina las coordenadas del vértice de las funciones cuadráticas del inciso c) y compara tu respuesta gráficamente.

7. Así como la ecuación de una función lineal puede escribirse en diferentes formas, también la ecuación de una función cuadrática tiene otra forma de escribirse (además de la forma general) llamada “Forma vértice”. Responde las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es la “Forma vértice” de la ecuación de una función cuadrática y qué representan cada una de las literales que aparecen en ella?

1. Una vez que tu profesor haya ejemplificado la manera de transformar una función cuadrática a la forma vértice, escribe las siguientes funciones cuadráticas en la forma vértice:

y = x2-4x                                                                          y = x2+6x+7

8. Cuando resuelves una función cuadrática utilizando la fórmula general cuadrática, en ocasiones obtienes soluciones “no reales”. Para familiarizarte con las soluciones no reales, así como con los números imaginarios y complejos, contesta las siguientes preguntas apoyándote en la lectura de tu libro de texto.

1. ¿Cómo se define la “unidad imaginaria”? ¿Cómo se representa?

1. ¿Qué es un número imaginario?

1. Representa los siguientes números imaginarios en términos de la unidad imaginaria i:

• √-9=
• √-13=
• √-25=
• √-5=

1. ¿Cómo se define un “número complejo”? Escribe 3 ejemplos.

1. ¿Cómo se define “números complejos conjugados”? Escribe 3 ejemplos.

1. Conocidos los números imaginarios, los números complejos y los números complejos conjugados, estás en condiciones de resolver ecuaciones cuadráticas que tienen “soluciones no reales”. Con ayuda de tu profesor formen equipos para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas y en plenaria discutan su solución:

X2+6x+13=0                                                                   x2-10x+41=0

9. En equipos o binas bosqueja las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas. Apóyate en los aspectos o elementos importantes de la gráfica como son:

• Orientación de la gráfica (Hacia dónde abre?)
• Coordenadas de su vértice V (h,k).
• Intersección de la gráfica con el eje Y.
• La naturaleza de sus raíces o ceros de la función (valor y análisis del discriminante)
• Intersección o intersecciones de la gráfica con el eje X (si las hay).
• Eje de simetría.

• y = x2-8x+12
• y = -2x2+4x+6

Grafica las funciones anteriores con el programa GeoGebra y compáralos con los resultados y gráficas que obtuviste.

10. En la actividad anterior bosquejaste gráficas de funciones cuadráticas tomando como base sus elementos más importantes. En esta actividad realizarás el proceso inverso, es decir, determinarás la función cuadrática si conoces puntos que pertenecen a la gráfica o a la gráfica misma.

...