MATEMATICAS

1. De la siguiente elipse 25x2 + 4y2 = 100. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Eje menor y eje mayor

e. Gráfica

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqué?)

4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y .

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

2. Analice la siguiente hipérbola 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Asíntotas

e. Gráfica

Solución 9x2– 18x – 16y2 – 64y= 199 9x2– 18x + 9 - 16y2 – 64y – 64 = 199 + 9 – 64 9(x2- 2x + 1) – 16 (y2 + 4y + 4) = 144

a. Centro (h,k) = (1, -2) b. Focos

Para encontrar los focos, necesitamos saber dónde está el centro, qué orientación tiene la hipérbola, y cuál es el valor de la distancia "c", que es la distancia del centro a los focos, y se obtiene con la fórmula:

b2= c2 +

C2= 25 C= 5 f (h + c,k)= (1+5, -2) = (6, -2) f´ (h – c, k) = (1, -5, -2) = (-4, -2)

c. Vertices

a=4 v (h + a, k ) = (1+4, -2) = (5, -2) v (h - a, k ) = (1 – 4, -2) = ( -3, -2) d. Asíntotas

3. Analice la siguiente ecuación x2 + y2 – 8x – 7y = 0. Determine:

a. Centro

b. Radio

c. Gráfica

x2 + y2 – 8x – 7y = 0 x2– 8x+ y2– 7y = 0 x2– 8x+16 y2– 7y+ (x – 4)2 + ( y - )2 = (x – h)2 + ( y )2 = r 2 ) = 16 +

a. Centro: (h,k= (4,

b. Radio: r2

4. Determine de la parábola 2x2 – 12x – 24y – 30 = 0 lo siguiente:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

d. Eje de simetría

e. Gráfica

2x2 – 12x – 24y – 30 = 0

2x2 – 12x= 24y + 30 2 (x2 –6x) = 24y + 30 2(x2- 6 + 9) = 24y + 30 + 18 2(x-3) 2 = 24y + 48 2(x-3) 2 = 24(y + 2) (x-3)2 = 12(y+2) 4p=12 p=12/4 p=3 a. Vértice : v (h,k)= (3, -2) b. Foco: (h, k+p) (3, -2+3) (3,1) c. Directriz: k – p = (-2-3) y= -5 d. Eje de simetría:

5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x – 2y + 10 = 0 y 4x + 3y – 7 = 0 y por el punto (2,1).

(3x – 2y + 10 = 0) 3 (4x + 3y – 7 = 0) 2 9x – 6y +30= 0 8x + 6y -14 =0 17x / +16=0

3x – 2y + 10= 0

Puntos de intersección: P1 = (x1, y1) P2= (x2, y2 ) P1 = ( m= y2 - y1 x2 – x1 P2= (2,1)

(y-y0) = m(x – x0) (y-1) = y= y= 25y=-22x+69 22x+25y-69= 0 Ecuación General

6. Realizar los siguientes ejercicios de sumatorias y productorias para un n=5 Se debe colocar el desarrollo y resultado del operador.

∑_(K=1)^n▒〖(7+5K)〗 Ecuacion canonica (x-2)

= ((7+5(1))+((7+5)(2))+((7+5(3))+(7+5(4))+(7+5(5))

= (7+5)+ (7+10)+ (7+15)+7+20)+ (7+25)

=12+17+22+27+32

=110

∏_(i=1)^n▒〖(4+i)〗

(4+1).(4+2).(4+3).(4+5)

= 5*6*7*8*9

= 15120

...