MEDIDAS DE DISPERSION

INTRODUCCIÓN

La estadística es una disciplina que proporciona principios y herramientas para emitir juicios sobre colectivos basados en datos obtenidos para propósitos específicos. Es decir, brinda el soporte para saber que datos obtener, como, cuando, como obtenerlos, y una vez obtenidos proporciona métodos y procedimientos para organizarlos con diferentes propósitos.

La correspondencia entre los análisis aplicados y datos recabados permite construir juicios concluyentes sobre el colectivo en estudio. Los datos que se precisan deben ser generados, de alguna forma, la cual siempre esta asociada a la definición de variables, que constituyen los conceptos de referencia mas importante en los inicios de una investigación.

En este sentido, las medidas de dispersión están encaminadas a cuantificar lo próximos o alejados que están los datos de la muestra de un punto central. Estas medidas indicaran por un lado el grado de variabilidad que hay en la muestra y, por otro, la representatividad de dicho punto central, ya que si se obtiene un valor pequeño, eso significara que los valores se concentran entorno a ese centro. En cambio, si se obtiene un valor grande, significara que los valores no están concentrados, sino dispersos

Así mismo, las medidas de forma se suelen utilizar para comparar las distribuciones muestrales con la distribución mas importante de la Estadística: la distribución normal.

Ahora bien, la distribución de probabilidad conocida como distribución normal es, por la cantidad de fenómenos que explica, la más importante de las distribuciones estadísticas. A la distribución normal también se la denomina con el nombre de campana de Gauss, pues al representar su función de probabilidad, ésta tiene forma de campana.

MEDIDAS DE DISPERCIÓN. TEORIAS, CONCEPTOS

El conocimiento de la forma de la distribución y del respectivo promedio de una colección de valores de una variable, puede servir para tener una idea bastante clara de la conformación, pero no de la homogeneidad de cada una de los valores con respecto a la medida de tendencia central aplicada.

En el caso de las variables con valores que pueden definirse en términos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.

A estos indicadores les llamamos medidas de dispersión, por cuanto que están referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersión en los datos interés, entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las medidas de la estadística descriptiva.

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

LA DISPERSIÓN.

Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos, la media, la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que necesitamos acerca de las características de los datos. Para aumentar nuestro entendimiento del patrón de los datos, debemos medir también su dispersión, extensión o variabilidad.

La dispersión es importante porque:

 Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.

 Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar esos problemas.

Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes

EL RANGO O RECORRIDO ( R ):

Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn ó Xmax.) y el mas bajo (X1 ó Xmin) en un conjunto de datos

RANGO ESTADÍSTICO:

El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor máximo y valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se suele simbolizar con R.

Requisitos del Rango:

• Ordenamos los números según su tamaño

• Restamos el valor mínimo del valor máximo

Ejemplo: Para una muestra (8,7,9,4,5) el dato menor es el 4 y el dato mayor es el 9 valor unitario inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor) sus valores se encuentran en un rango se:

Rango = 5

Medio Rango de un conjunto de valores numéricos es la media del menor y mayor valor, o la mitad de camino entre e dato de menor valor y el dato mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

Medio Rango: min + Max

2

Ejemplo:

Para una muestra de valores (3,3,5,6,8) el dato menor valor min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente formula sería:

Medio Rango = 3 + 8 = 5,5

2

Representación del medio Rango:

3 5 6 8

Medio Rango= 5,5

VARIANZA:

Es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media) es decir es el cuadro de las desviaciones

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S ó δ)

Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se estima con respecto a este valor.

Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega “sigma” ( δ ) ó por la letra S mayúscula, según otros analistas.

Cálculo de la Desviación Estándar

δ = √δ2 ó S = √S2

Ejemplo:

Del calculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de primer año se obtuvo δ2=27.44, como la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √27.44 = 5.29 años.

Igual procedimiento se aplica para encontrar le desviación estándar de las cuentas por cobrar de la Tienda Cabrera’s y Asociados, recordemos que la varianza obtenida fue de 721.645, luego entonces la desviación estándar es igual a δ =√721.645 = 26.86 balboas.

Propiedades de la Desviación Estándar

A su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

 La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será siempre 0 por definición. Cuando S = 0  X = xi (para todo i).

 Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.

 La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable

 Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía.

 Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.

LA VARIANZA (S2 ó δ2 ):

La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca estén las Xi a su media menos es la varianza. Y se define y expresa matemáticamente de la siguiente manera:

La varianza para datos no agrupados

Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma) elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética”

Matemáticamente, se expresa como:

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 25, 27, y 34. Al calcular la media aritmética (promedio de las edades, se obtuvo 25.4 años, encontrar la varianza de las edades de estos estudiantes:

Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:

Xi ( Xi - ) ( Xi - )2

18 (18 – 25.4)=-7.4 (-7.4)2=54.76

23 (23 – 25.4)=-2.4 (-2.4)2= 5.76

25 (25 – 25.4)=-0.4 (-0.4)2=

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