Mantenimiento

Diferencia de la derivada e integral

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:

Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

".

Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:

Aplicando el teorema:

Pues f(1)=ln 1=0

Y como para x distinto de cero:

Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:

Como queríamos probar.

Teorema de Rolle:

Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:

F'(c)= 0

Ejemplo:

...