Matemáticas aplicadas I.

Matemáticas aplicadas I

Modelamiento matemático

Enfriamiento de una taza de café

Docente: Jorge Arellano Coronilla

08/12/15

Integrantes:

Castañeda Estrada Yesenia

Marín González Jocelyn

Montes Ramírez Ashanti

Rojas Jacobo Héctor Jesús

Tow Mendoza Carlos

Representación de una EDO

Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial en la que aparecen  derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una única variable independiente.

Existen ciertos modelos que nos ayudan a representar a las ecuaciones diferenciales, los cuales son conocidos como: “Modelos matemáticos”; que son:

• Crecimiento y Decrecimiento
• Ley de enfriamiento o Calentamiento
• Mezcla o dilución de disoluciones
• Balances térmicos

A continuación explicaremos como es útil estos modelos en la vida diaria, utilizando la “Ley de enfriamiento” con la ayuda de una taza de café.

Experimento….

• Se tomó la temperatura ambiente
• Se tomó la temperatura del café con la cual se iniciaría a trabajar
• Se tomó el tiempo en minutos y se anotaba la temperatura del fluido
• Hasta que se llegó a los 48 C, se dejó de llevar a cabo el experimento
• Se planteó la búsqueda del modelo matemático que satisfaciera nuestro experimento
• Se dedujo el modelo

[pic 1][pic 2][pic 3]

Enfriamiento de una taza de Café.

Aplicación de conocimientos con ayuda del experimento:

Encontrar el modelo matemático que representa el enfriamiento de un café. Si su temperatura inicial es de 74 °C, su temperatura a los 20 minutos es de 48, a una temperatura ambiente de 16.5 °C.

¿Cuánto tiempo pasara para que el café se encuentre en equilibrio con la temperatura ambiente?

Datos recaudados:

Temperatura inicial: 74 C

Temperatura final: 16.5 C

Temperatura ambiente: 16.5 C

Q inicial = temperatura ambiente= 16.5 C

Tiempo inicial: 0 min.

Tiempo final: ?

 [pic 4]

Modelo matemático:

dT/ dt ~ Qo – T [pic 5]

dT/dt= -k (T-Qo)

dT/ T-Qo = -k dt [pic 6]

[ dT/ T-Qo = -[ k dt[pic 7]

In T-Qo= -kt +C

( In T –Qo= -kt +C) e

T –Qo= Ce^ -kt [pic 8]

T= Ce^-kt +Qo

T= 16.5 + Ce^-kt

Condiciones iniciales:

To = 74 C              

T = 16.5 + Ce^-kt

74= 16.5 + Ce^-k(0)

74= 16.5 + C

C= 74 – 16.5

C = 57.5

Condiciones finales:

T (20) =48

T = 16.5 + Ce^-kt

48= 16.5 + (57.5) e^- 20 k

31.5/57.5 = e^-20k

In (31.5/57.5=-20k)

In 31.5/57.5 = -20k

K= 0.03008

T = 16.5 + 57.5 e^- 0.03008 t    Ec. Particular

Datos del modelo matemático:

[pic 9]

Resultado:

...