Matematicas Discretas

Actividad 3. Sumas de Riemann

Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto:

1. Expresa como una integral en el intervalo [0,π].

2. Expresa el como una integral en el intervalo [3,9].

3. Expresa el como una integral en el intervalo [0,3].

Respuestas

1.- ∫_π^0▒(cosx + xtanx) dx

2.- ∫_π^0▒(x8- 3 +4/3) dx

3.- ∫_3^9▒(x1/2 +1nx3 ) dx

Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto:

4. Evalúa las siguientes sumas de Riemann:

a) Evalúa la suma de Riemann para b) Evalúa

, en el intervalo [2,5].

a) Evalúa la suma de Riemann para b) Evalúa

, en el intervalo [3,4].

Evalúa la suma de Riemann para

, en el intervalo [-2,1] b) Evalúa

4.Solución ejercicio 1

∆x= (b-a)/n

Sustituyendo a y b

∆x= (5-2)/n

∆x= 3/n

Para la i-ésima partición o rectángulo

x_i =a + i ∆x= 2+3/n i

La suma de Riemann está dada por:

∑_(i=1)^n▒f(xi)∆x

Recordemos que la función dada es f(x)=5x-6, asi que vamos a sustituir xi y ∆x

∑_(i=1)^n▒f(xi)∆x= ∑_(i=1)^n▒f(xi-6)∆x=∑_(i=1)^n▒[5 (2+ 3i/n)-6]3/n=∑_(i=1)^n▒[10+15i/n)-6]3/n=∑_(i=1)^n▒(4+15i/n) 3/n= -3/n

Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria correspondiente, según las fórmulas que nos dieron al principio de la sección en los contenidos de la materia.

∑_(i=1)^n▒(4+15i/n) 3/n (∑_(i=1)^n▒4+∑_(i=1)^n▒15i/n) = 3/n = (∑_(i=1)^n▒4+∑_(i=1)^n▒15/n i) = 3/n (4n+15/n (n(n+1)/2)) = 3/n (4n+(15n+15)/2)=12n/n+45n/2n+45/n=12+45/2+45/2n

lim┬(n→∞)⁡〖〖(12+45/2+45/2n)=12+45/2=12+22.5=34.5〗^ 〗

A=34.5 u^2

b) Evalua

∫_2^5▒(5x -6) dx

A= (5x2-6x] 5¦2= (5x^2)/2-6x/1]5¦2

A= ((5〖(5)〗^2)/2-(6(5))/1)- ((5〖(5)〗^2)/2-(6(2))/1)

A= (62.5 – 30) - (10 – 12)

A=32.5 – (-2)

A= 34.5 u^2

Solución ejercicio 2

∆x= (b-a)/n

Sustituyendo a y b

∆x= (4-3)/n=1/n

Para la i-ésima partición o rectángulo

x_i =a + i∆x= 3+1/n i

La suma de Riemann está dada por:

∑_(i=1)^n▒f(xi)∆x

Recordamos que la función f(x) es f(x)=x3 – 7, así que sustituyendo x_i y ∆x

∑_(i=1)^n▒f(xi)∆x= ∑_(i=1)^n▒(xi3 - 7)∆x= ∑_(i=1)^n▒〖[(3+1/n i)^3 -7] 1/n〗 =

∑_(i=1)^n▒〖[(3+1/n i)^3 -7] 1/n〗=∑_(i=1)^n▒〖[((〖3)〗^3+3(〖3)〗^2 (1/n i)+3(3)(1/n i)^2+(1/n i))^3-7] 1/n〗=

∑_(i=1)^n▒〖[(27+27/n i+9/n^2 i^2+1/n^3 i^3 ) -7] 1/n〗=∑_(i=1)^n▒[20+27/n i+9/n^2 i^(2 )+1/n^3 i^3 ] 1/n=

Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria correspondiente, según las fórmulas que nos dieron al principio de la sección en los contenidos de la materia.

1/n=∑_(i=1)^n▒[20+27/n i+9/n^2 i^(2 )+1/n^3 i^3 ] 1/n ∑_(i=1)^n▒〖20+27/n ∑_(i=1)^n▒〖i+9/n^2 ∑_(i=1)^n▒〖i^2+1/n^8 ∑_(i=1)^n▒〖i^3= 〗 〗 〗 〗

1/n (20n+27/n ((n(n+1))/2) 9/n^2 ((n(+1)(2n+1))/6)+1/n^3 (n^(2(n+1)^2 )/4))=

1/n (20n+27n/n+27+9/n^2 ((n(+1)(2n+1))/6)+1/n^3 (n^(2(n+1)^2 )/4))=

1/n (20n+27n/n+27/2+9/n^2 ((〖2n〗^2+3n^(2+n))/6)+1/n^3 ((n^4+2n^(3 )+n^2)/4))=

1/n (20n+27n/2+27/2+(18n^3+9n)/(6n^2 )+(27n^2)/(6n^2 )+(n^4+n^2)/(4n^3 )+(2n^3)/(4n^3 ))=

1/n (20n+27n/2+27/2+(18n^3+9n)/(6n^2 )+9/2+(n^4+n^2)/(4n^3 )+1/2)=

1/n (20n+27n/2+(18n^3+9n)/(6n^2 )+37/2+(n^4+n^2)/(4n^3 )+1/2)

20n/n+27n/2n+(18n^3)/(6n^3 )+9/(6n^3 )+37/2n+n^4/(4n^4 )+n^2/(4n^2 )=20+27/2+3+9n/(6n^3 )+37/2n+1/4+n^2/(4n^2 )=

23+55/4+9n/(6n^3 )+37/2n+n^2/(4n^4 )

lim┬(n→∞)⁡〖(23+55/4+9n/(6n^3 )+37/2n+n^2/(4n^4 ))^ 〗=23+55/4=147/4=36.75

A=36.75〖 u〗^2

Evalua

∫_3^4▒( x^3-7) dx

A= (x4-7x] 4¦3= x^4/4-7x/1]4¦3

A= (〖(4)〗^4/4-(7(4))/1)- (〖(3)〗^4/4-(7(3))/1)

A= (68 – 28) - (20.25 – 21)

A=32.5 – (-.75)

A= 36.75 u^2

Solución ejercicio 3

∆x= (b-a)/n

Sustituyendo a y b

∆x= (1-(-2))/n=3/n

Para la i-ésima partición o rectángulo

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