Matematicas Trigomnometria

LA ENSEÑANZA DE LA

TRIGONOMETRÍA EN LA ESCUELA

SECUNDARIA

Razones trigonométricas para cualquier ángulo

Problema:

¿Es posible calcular el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo mayor a 90º?

Ya se conoce que para un ángulo α entre 0º y 90º

sen α= (cateto opuesto al angulo)/hipotenusa

Donde el ángulo es uno de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo

En particular es posible construir un triangulo rectángulo donde la hipotenusa mida 1.

En este caso resulta

sen α= a

cosen a=b

Si se cambian las medidas de los catetos sin cambiar la medida de la hipotenusa y dejando fijo el punto A, es posible construir todos los triángulos rectángulos con hipotenusa igual a 1 para valores entre 0º y 90º siempre midiendo el ángulo α entre (AC) ̅ y (AB) ̅ el punto B determina de este modo un cuarto de circunferencia con centro A y radio 1

Si se continúa rotando el lado AB se comienza a tener ángulos mayores a 90º

Todos los puntos de la circunferencia quedan determinados al girar el punto B

Esta circunferencia se puede representar utilizando ejes cartesianos. Si se toma el punto A como el punto (0,0) se tiene una circunferencia de radio 1

De este modo para un valor de α se tiene un único triangulo rectángulo con hipotenusa 1 que está representado en el primer cuadrante de esta circunferencia

Si se continua girando el lado AB se pasa al segundo cuadrante en el cual el ángulo resulta ser mayor a 90º para estos ángulos es posible extender la relación anterior es decir el seno de ese ángulo mayor a90º es el valor de la coordenada del eje Y para el punto B de la circunferencia el coseno de ese ángulo es el valor de la coordenada del eje X del punto B.

De este modo se determina el valor del seno y del coseno para cualquier ángulo

¿Qué sucede con los signos del seno y del coseno según cambian de cuadrante?

Si se señala en la circunferencia trigonométrica diferentes ángulos se puede observar que para que el seno sea negativo el ángulo tiene que estar en tercer o en el cuarto cuadrante para que la coordenada Y sea negativa por lo tanto si el ángulo toma valores entre 180º y 36’0º el seno será negativo de forma análoga se puede ver que para que el coseno sea negativo son los ángulos que se encuentran en el segundo o tercer cuadrante para que la coordenada X sea negativa

¿Qué signo tiene la tangente en los distintos cuadrantes?

Analizando la relación:

tg α= (sen α)/cos⁡α

Aplicando la regla de signos que dependiendo del valor del seno y del coseno será el signo de la tangente Deducimos en los 4 cuadrantes los signos de las funciones trigonométricas

Actividad de evaluación

Responder y justificar a la luz de los temas estudiados las siguientes preguntas:

La tangente de un ángulo es igual a 1,4825¿Cuánto mide ese ángulo si se sabe que se encuentra en el tercer cuadrante?

El ángulo a se encuentra en el cuarto cuadrante y cos a= 0.618¿Cuál es su amplitud?

Si se conoce que el seno de un ángulo es igual a 0.64278 y el ángulo se encuentra entre 90º y 180º ¿Cuánto mide ese ángulo?

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