Matematicas

1.Un comerciante de manzanas necesita hacer una promoción para vender rápido su producto, pues no cuenta con un cuarto de enfriamiento para su conservación. El precio del kilogramo de manzana es de $10.00, pero si el número de kilogramos que lleve el cliente es mayor de 5, piensa disminuir en $0.20 el precio por cada kilogramo; para ello preparará bolsas que contengan diferente cantidad de manzanas.

a) Determina cuál es el número de kilogramos del paquete más grande que debe hacer para su utilidad sea máxima.

b) ¿Cuánto pagará el cliente si se lleva la bolsa más grande?

Si por es el número de kilos que se compran, el precio de las manzanas con la oferta será 10-0.20x el kilo, por lo que el precio de la compra

f(x)=(10-0,20x)•x=10x-0.20x^2

para maximizar la función calculamos su derivada y la igualamos a 0

f'(x)=10-0.40x

f'(x)=0 --> 10-0.40x=0 --> x=10/0.40=25

f''(x)=-0,40 <0 es un máximo por ser la derivada segunda menor que 0

por lo que el paquete mayor debe tener 25kg.

Y su precio será de f(25)=10•25-0.20•25^2=125

2. Un ganadero quiere construir un corral para engorda de ganado, y tiene pensado hacerlo a orillas de un pequeño río que pasa por su propiedad, pues así se ahorrará material en la construcción de la cerca además el ganado podrá abrevar fácilmente. Cuenta con 200 metros de malla de alambre para construir el corral.

Si su forma es rectangular. ¿Qué dimensiones debe tener el corral para que su área sea máxima?

tomamos el rectángulo de dimensiones x(ancho) e y(largo)

La función que queremos maximizar es el área f(x, y)=x•y

donde tenemos la condición de que la malla que lo rodea por tres de sus cuatro partes es 200m

2x+y=200 despejando y=200-2x

sustituimos en la función a maximizar f(x,y)=x•y --> f(x)=x•(200-2x)=200x-2x^2

Para hallar los máximos de una función calculamos su derivada y la igualamos a 0

f'(x)=200-4x

f'(x)=0 --> 200-4x=0 --> x=200/4 --> x=50m --> y=200-2x --> y=100m

Para comprobar si es máximo o mínimo calculamos la derivada segunda f''(x)=-4 por ser menor que 0 es un máximo.

Luego las dimensiones del corral son

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