Matematicas

(Existe)

ii.f (0) = 3 (Existe)

Pero,; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como, la discontinuidad es evitable.

Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que. Esto es, redefiniendo a f asi:

Esta nueva función es continua en x = 0.

Es de anotar que la función f se ha redefinido y por lo tanto, no se trata de la misma función. ¿Porqué?

8.3.1. Teoremas sobre funciones continuas. Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.

TEOREMA 1. (Algebra de funciones continuas)

Sean f, g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

i. (f + g) es continua en x = a. (Suma de funciones continuas es continua).

ii. (f – g) es continua en x = a. (Diferencia de funciones continuas es continua).

iii. (f × g) es continua en x = a. (Producto de funciones continuas es continua).

iv. es continua en x = a, si g(a) ¹ 0. (Cociente de funciones continuas es continua).

Consecuencias:

C.C.1. La función polinómica es continua en todo punto del eje real. En efecto, sea una función polinómica de grado n.

Sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i., ii. y iii se obtiene que:

y de aquí, Pn (x) es una función continua en todo punto del eje real.

C.C.2. Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función.

Demostración: aplicar el teorema 1.

TEOREMA 2. (Límite de la función compuesta)

Sean f y g dos funciones tales que: f es continua en b y. Entonces: .

Algunas consecuencias importantes de este teorema son las siguientes:

C.C.3. Si, entonces,. Cuando n sea par, se debe cumplir además que b > 0.

C.C.4. Si, entonces,

Las consecuencias C.C.3. y C.C.4., se expresan respectivamente en palabras de la siguiente forma: "El límite de la raiz n-sima, es la raiz n-sima del límite y "El límite del valor absoluto, es el valor absoluto del límite".

C.C.5. (Continuidad de la función compuesta). Si g es continua en a y f es continua en

g(a), entonces (f o g) (x) = f (g(x)) es continua en a.

8.3.2. Continuidad En Un Intervalo

Definiciones:

i. Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y solo si, f es continua en TODO punto del intervalo.

ii.Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).

Asi por ejemplo, la función (mayor entero menor o igual a x), es continua en los intervalos de la formaü , ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante.

Considere también la función f definida por:

y cuya gráfica aparece en la fig. 8.8.

Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3]

fig. 8.8.

1.Continuidad en el intervalo abierto (-1, 3). Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo. Continuidad en x = 2

i. f(2) = 4

ii.

iii. De i., ii., y iii. se concluye que f es continua en x = 2 y por lo tanto f es continua en el intervalo (-1, 3).

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