Matemática útil

MATEMÁTICA ÚTIL

ALGEBRA

El algebra es la aritmética de símbolos que representan números. En vez de estar limitada a relaciones entre números específicos, el algebra expresa relaciones mas generales entre cantidades cuyos valores numéricos no necesitan ser conocidos.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división tienen en algebra el mismo sentido que en aritmética. Así la formula:

Significa que para hallar el valor de x, primero debemos sumar a y b, a continuación multiplicar por c, luego dividir por d, y finalmente restar e. las reglas para multiplicar y dividir cantidades positivas y negativas son las siguientes:

ECUACIONES

Una ecuación es una proposición de igualdad: lo que esta en el lado izquierdo de cualquier ecuación es igual a lo que esta en el lado derecho. Por regla general, los símbolos de una ecuación algebraica no pueden tomar valores arbitrarios si se quiere mantener igualdad. Resolver una ecuación es encontrar los posibles valores de estos símbolos. La solución de la ecuación 5x – 10 = 20 es x = 6, porque solamente cuando x es igual a 6, la ecuación es una proposición verdadera.

Los procedimientos algebraicos que se pueden usar para resolver una ecuación están basados en el principio de que cualquier operación realizada en uno de los lados de la ecuación, también debe ser realizada en el otro. Así una ecuación conserva su validez cuando la misma cantidad se suma o se resta a ambos lados, o se usa para multiplicar o dividir ambos lados. Otras operaciones tales como elevar a una potencia o extraer una raíz, tampoco cambian una igualdad si se hace lo mismo a ambos lados.

Dos reglas útiles se derivan del principio anterior. Primera, cualquier termino de uno de los lados de una ecuación puede ser transferida al otro lado cambiándole su signo. Así, si a + b = c, entonces, a = c / b, y si a / d = e, a = de. Cuando cada lado de una ecuación es una fracción, la ecuación en cruz suprime las fracciones. Por ejemplo, si hay que resolver la ecuación

Para hallar el valor de a, primero se multiplica en cruz para obtener

y luego se procede de la siguiente forma:

se efectúa la multiplicación en ambos lados, 5a – 10 = 3a + 6

se transfieren -10 y 3a, 5a – 3a = 6 + 10

Se realizan la resta y la suma indicadas, 2a = 16

y se dividen ambos lados por 2 para obtener a = 8

EXPONENTES

Existe una forma especial abreviada para expresar una multiplicación de una cantidad varias veces por si misma. En esta representación se una un número llamado exponente, para indicar cuantas veces se efectúa la auto-multiplicación, como sigue:

La cantidad a² se lee como “a al cuadrado” porque es igual al área de un cuadrado cuyos lados tienen longitud a, y a³ se lee como “a al cubo” porque es igual al volumen de un cubo cuyos lados tienen longitud a. después del exponente 3, se lee como an como “a a la n-ésima potencia”, de manera que a5 es “a la quinta potencia”. El producto de dos potencias de la misma cantidad, como an y am es igual a la cantidad elevada de la suma de dos exponentes:

La inversa de una cantidad se expresa de acuerdo con la anterior representación, pero usando exponentes negativos:

En general 1 / an = (1 / a)n = a-n. Una cantidad elevada a la potencia cero, a0 por ejemplo, siempre es igual a 1 : a0 = 1. Para ver el porqué, notemos que a / a = 1 se puede escribir también como a / a = a1 * a-1 = a1-1 = a0.

Un exponente no necesariamente debe ser un número entero. Un exponente fraccionario significa la raíz de una cantidad. La raíz cuadrada de una cantidad. La “raíz cuadrada de a”, que se acostumbras a escribir √a, es aquella cantidad que multiplicada por si misma es igual a a: √a + √a = a. Usando exponentes podríamos escribir la raíz cuadrada de a como √a = a1/2, porque a1/2 * a ½ = a1/2+1/2 = a1 = a. En general, la raíz,

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