Medidas De Dispersión Y Teorema De Chebyshev

Medidas de dispersión

Son las medidas que cuantifican la variabilidad o dispersión presente en un conjunto de observaciones.

Estas medidas de variabilidad serán pequeñas si no existen diferencias muy grandes entre los valores observados y resultarán grandes en caso contrario; a continuación se muestran las más usuales.

Amplitud

Es la medida dispersión más simple de todas, y lo que mide es la distancia que separa a la observación de mayor valor de la de menor valor en el conjunto de observaciones, y se define como:

Amplitud= valor máximo – valor mínimo

Es una medida de dispersión de fácil cálculo y se utiliza mucho en el control estadístico de la calidad.

Amplitud Intercuartílica (A.I.)

La amplitud intercuartílica se basa en la distancia entre los cuartiles para medir la variabilidad presente en los datos. Se calcula tomando la diferencia entre el valor del cuartil superior (3 er cuartil) y del cuartil inferior (1er cuartil):

A.I.= q3 – q1

La A.I. es una estadística resistente ya que su valor no se ve afectado al existir observaciones atípicas.

Varianza (σ2)

La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media es cero para cualquier grupo de datos pues las observaciones cuyos valores son menores al valor de la media tendrán desviaciones negativas; mientras que los valores mayores al de la media tendrán desviaciones positivas.

Una forma de eliminar el signo en las desviaciones con respecto a la media es elevándolas al cuadrado. De esta manera definimos a la varianza poblacional como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a su media:

σ^2=〖Σ(X_i-μ)〗^2/N

Si lo que se tiene es una muestra tomada de una población, entonces se utilizan estos valores muestrales para inferir sobre los valores poblacionales. La varianza muestral se define como:

s^2=〖Σ(x_i-x ̅)〗^2/(n-1)

Esta varianza muestral s2 nos sirve para estimar la varianza poblacional σ2 que es desconocida.

Las unidades en las que se expresa la varianza son el cuadrado de las unidades originales de medición, por lo que se acostumbra aplicar la raíz cuadrada a la varianza para así tener una medida de dispersión que tenga las unidades originales. A esta transformación de la varianza se le conoce como desviación estándar (σ).

σ=√(σ^2 )

s=√(s^2 )

Desviación estándar poblacional

σ=√(〖Σ(X_i-μ)〗^2/N)

Desviación estándar muestral

s=√(〖Σ(x_i-x ̅)〗^2/(n-1))

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación mide la dispersión relativa de un conjunto de valores al dividir la desviación estándar entre la media.

C.V.=σ/μ

Con esta medida se expresa a la desviación estándar como proporción de la media, resulta muy útil para comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos.

Covarianza

La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen para indicar si las puntuaciones están relacionadas entre sí. Existe una poblacional (σXY) y una muestral (sXY).

S ̂_xy=(∑▒〖x_i y_i 〗)/(n-1)=(∑▒〖〖(X〗_i-X ̅)(Y_i-Y ̅)〗)/(n-1)

Coeficiente de Correlación de Pearson

El Coeficiente de Correlación de Pearson (r), permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones.

r=S_xy/(S_x S_y )

Teorema de Chebyshev

El ruso P.L. Chebyshev descubrió que la fracción de área entre dos valores simétricos alrededor de la media está relacionada con la desviación estándar. El área bajo la curva de una distribución de probabilidad o un histograma de probabilidad suma 1, el área entre

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