MÉTODO GRAFICO

MÉTODO GRAFICO

Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación, consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje x.

Por ejemplo, si se desea determinar, aplicando el método gráfico, los valores aproximados de las raíces de x^2 -6 x +1 =0. Para ello se calcula el valor de la función en el intervalo [-2,8] y se representan los valores en un sistema de ejes cartesianos.

GRAFICO X^2-6X+1

SE OBSERVA EN EL GRAFICO Q LAS RAICES APROXIMADAS SON 0 Y 6

BISECCION

El método bisección o de mitad es uno de los métodos numéricos más sencillos de comprender y muy versátil para encontrar una raíz real en un intervalo en el que existe una raíz de la ecuación dada, sin embargo, el número de cálculos aumenta sustancialmente a medida que se desea mayor exactitud. sólo se debe utilizar el método después de un análisis gráfico.

VENTAJA

• Siempre converge

DESVENTAJA

• Converge muy lentamente

• Si existe mas de una raíz en el intervalo, el método permite solo encontrar una de ellas

FALSA POSICIÓN

El método de la falsa posición, (Basado en la interpolación lineal) es análogo al método de bisección, puesto que el tamaño del intervalo que contiene a la raíz se reduce mediante iteración. Sin embargo la iteración se toma en la intersección de una recta entre el par de valores x y el eje de las abscisas en lugar de tomar un punto medio.

VENTAJA

• Siempre converge.

• Converge mas rápidamente que el método de bisección.

DESVENTAJA

• Si existe más de una raíz en el intervalo, el método permite solo encontrar una de ellas.

FIJO ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO

El método de aproximaciones sucecivas o iteración de punto fijo es una forma muy útil y simple de encontrar la raíz de una ecuación de la forma f(x)=0. Para ello se reordena la ecuación de manera que x sea igual a g(x).se puede llevar a acabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x a ambos miembros de la ecuación original. A una solución de esta ecuación se le llama un punto fijo de la función g.

Ejemplo

X^2-4x+2=0

X=(x^2+2)/4

O iteración es xi+1= X= (xi^2+2)/4

x xi+1

0 0,75

0,75 0,641

0,641 0,603

0,603 0,591

0,591 0,587

0,587 0,586

Ventajas

• Es simple

• Es flexible

Desventajas

• No siempre es convergente, depende de la forma de la funcion g(x)

MÉTODO DE NEWTON RAPSHON

El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración.

Inconveniente del método es que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso.

Ejemplo

F(xi)=X^2-4x+2=0

f´(xi)=2x-4

xi+1=xi-(f(xi))/( f´(xi))=xi-( Xi^2-4x+2)/( 2xi-4)

x xi+1

0 0,5

0,5 0,583

0,583 0,586

Ventajas

• Converge mas rápido que cualquiera de los métodos gráficos, bisección ,falsa posición.

Desventaja

• No siempre, depende de la naturaleza de la función.

• No es conveniente en el caso de las raíces múltiples

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