PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

1. DESPLAZAMIENTO VIRTUAL

Sea un cuerpo B en equilibrio bajo la acción de fuerzas de cuerpo b y de superficie t. La frontera S de B está dividida en dos partes:

Su con desplazamiento u¯ prescrito, (1)

Sσ con tracción de superficie t¯ prescrita. (2)

Asumimos que el problema tiene solución, es decir, existe un campo de desplazamientos u

que satisface las ecuaciones de equilibrio estático y las condiciones de borde.

Sea

u˜ = u + δu (3)

otro campo de desplazamiento que, si bien arbitrario, satisface la condición de borde en la porción Su de la frontera S, o sea

Luego, δu debe satisfacer:

u˜ = u¯

sobre Su (4)

pero es arbitraria en Sσ .

δu = 0 sobre Su (5)

Pediremos además que δu sea suficientemente suave (esto, continua y de derivadas parciales

continuas hasta un orden suficientemente grande) y que su magnitud sea suficientemente pe- queña como para que el material se mantenga en rango elástico. Un desplazamiento arbitrario δu que cumpla todas estas condiciones se denomina desplazamiento virtual.

2. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Supongamos que el cuerpo B se halla en equilibrio bajo la acción de cargas externas super- ficiales t¯i y de cuerpo Xi, o sea:

σij,j + Xi = 0 en B (6)

ui = u¯i en Su (7)

σij nj = t¯i en Sσ (8)

Multipliquemos la equación de equilibrio por el desplazamiento virtual δui y luego integremos sobre B:

La integral del lado derecho representa el trabajo realizado sobre todo el cuerpo B por las fuerzas de cuerpo Xi debido a los desplazamientos virtuales δui, llamado trabajo virtual de Xi.

El lado izquierdo de la ecuación (9) se puede descomponer en dos términos:

Apliquemos el teorema de Gauss al primer término del lado derecho:

Como δui = 0 sobre Su:

Sobre Sσ , tenemos la condición de borde t¯i = σij nj , así que el primer término del lado derecho de la ecuación (10) resulta finalmente

La integral del lado derecho define el trabajo realizado sobre todo el cuerpo B por las tracciones superficiales t¯i debido a los desplazamientos virtuales δui, o trabajo virtual de t¯i.

Ahora, por la simetría de σij , el segundo término del lado derecho de la ecuación (10) puede escribirse como

Definimos la deformación eij debida a los desplamientos ui como

Luego, la deformación debida a los desplazamientos virtuales es

La ecuación (14) puede escribirse

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