Procesos Aleatorios

PROCESOS ALEATORIOS

Concepto de procesos aleatorios

Una variable aleatoria transforma las salidas de un experimento aleatorio a un conjunto de números reales. En un sentido similar, un proceso aleatorio puede ser visto como una transformación de las salidas de un experimento aleatorio a un conjunto de ondas o funciones del tiempo. Mientras que en algunas aplicaciones puede no ser posible definir explícitamente el experimento aleatorio y las transformaciones a ondas asociadas (eléctricas, por ejemplo), todavía se pueden utilizar los procesos aleatorios como un modelo para caracterizar a las formas de ondas.

Definiremos procesos aleatorios a toda experiencia que genere una secuencia de valores modeizables como variables aleatorias. Cada experiencia individual tiene posicionamiento, o sea un orden en la experiencia global.

También podemos decir que una serie ordenadas de experiencias individuales genera una experiencia global que denomina proceso aleatorio.

Un proceso es llamado discreto cuando el resultado de la experiencia es una sucesión, tiene un orden en relación con los números naturales.

Un proceso es continuo, en cambio, cuando el ordenamiento está relacionado con los números reales.

Un proceso puede clasificarse como:

•Continuo de variable continua

•Continuo de variable discreta

•Discreto de variable continua

•Discreto de variable discreta

Ejemplos:

Proceso continuo de variable continua: el crecimiento de las personas.

Proceso continuo de variable discreta: la situación de encendido o apagado de una lámpara.

Proceso discreto de variable continua: temperatura máxima de cada día.

Proceso discreto de variable discreta: cantidad de pasajeros en cada ómnibus que llega.

Funciones de variables aleatorias

Sea una variable aleatoria sobre y una función medible de Borel , entonces será también una variable aleatoria sobre , dado que la composición de funciones medibles también es medible a no ser que sea una función medible de Lebesgue. El mismo procedimiento que permite ir de un espacio de probabilidad a puede ser utilizado para obtener la distribución de . La función de probabilidad acumulada de es

Si la función g es invertible, es decir g-1 existe, y es monótona creciente, entonces la anterior relación puede ser extendida para obtener

y, trabajando de nuevo bajo las mismas hipótesis de invertibilidad de g y asumiendo además diferenciabilidad, podemos hallar la relación entre las funciones de densidad de probabilidad al diferenciar ambos términos respecto de y, obteniendo

.

Si g no es invertible pero cada y tiene un número finito de raíces, entonces la relación previa con la función de densidad de probabilidad puede generalizarse como

Donde xi = gi-1(y). Las fórmulas de densidad no requieren que g sea creciente.

Ejemplo

Sea X una variable aleatoria real continua y sea Y = X2.

Si y < 0, entonces P(X2 = y) = 0, por lo tanto

Si y = 0, entonces

Por lo tanto

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