PROCESOS ALEATORIOS

PROCESOS ALEATORIOS

La idea de un modelo matemático utilizado para describir un fenómeno físico se establece en las ciencias físicas y en la ingeniería. En este contexto es posible distinguir dos clases de modelos matemáticos: determinísticos y estocásticos. Se afirma que un modelo es determinístico si no hay incertidumbre acerca de su comportamiento dependiente del tiempo en cualquier instante. Sin embargo, en muchos problemas del mundo real el empleo de un modelo determinístico resulta inapropiado porque el fenómeno físico de interés incluye demasiados factores desconocidos.

A pesar de eso, es factible considerar un modelo descrito en términos probabilísticos entre dos límites especificados.

Un proceso aleatorio (o proceso estocástico) es un conjunto indexado de funciones reales de algún parámetro, generalmente el tiempo, que posee ciertas propiedades estadísticas.

Los procesos aleatorios tienen dos propiedades:

Son funciones del tiempo

Son aleatorios porque antes de llevar a cabo un experimento, no es posible definir con exactitud las formas de onda que se observarán en el futuro.

Al describir un experimento aleatorio resulta conveniente pensar en términos de un espacio muestral. De modo específico, cada resultado del experimento se asocia con un punto de la muestra. La totalidad de los puntos de la muestra correspondientes al agregado de todos los resultados posibles del experimento reciben el nombre de espacio muestral. Cada punto de la muestra del espacio muestral es una función del tiempo. El espacio o totalidad muestral compuesta por funciones de tiempo se denomina proceso aleatorio o estocástico.

Consideremos un experimento aleatorio especificados por los valores de s de un espacio muestral S.

Asignaremos a cada punto s de la muestra una función del tiempo.

X(t,s) -T ≤ t ≤ T

En un punto fijo s_j de la muestra, la gráfica de la función X(t,s_j) recibe el nombre de realización o función de la muestra del proceso aleatorio. Para simplificar la notación, denotamos esta función de la muestra como:

x_j (t)=X(t,s_j)

{x_j (t)∥j=1, 2, …, n}

Para un tiempo fijo tk dentro del intervalo de información el conjunto de números constituye una variable aleatoria.

{x_1 (t_k ),x_2 (t_k ), …,x_n (t_k)"}"

De esta manera tenemos una totalidad de variables aleatorias {X(t,s)}, que se denomina proceso aleatorio.

En estas condiciones es posible definir a un proceso aleatorio X(t) como un conjunto de funciones de tiempo con una regla de probabilidad que asigna una probabilidad a cada evento asociado con una observación de una de las funciones muestra del proceso aleatorio.

Para una variable aleatoria, el resultado estará dado por un número.

En un proceso aleatorio, el resultado se transforma en una forma de onda que es una función del tiempo.

PROCESOS ESTACIONARIOS

Al tratar con los procesos aleatorios que se presenten en el mundo real, descubrimos muchas veces que la caracterización estadística del proceso es independiente del tiempo en el que se inicia la observación del proceso.

Es decir, si un proceso de este tipo se divide en varios intervalos de tiempo, las distintas secciones del proceso exhiben en esencia las mismas probabilidades estadísticas. Un proceso de estas características se dice que es estacionario. De otra manera se considera que no es estacionario.

En términos generales un proceso estacionario surge de un fenómeno físico estable que ha evolucionado hasta un modo de comportamiento de estado estable, en tanto que un proceso no estacionario proviene de un fenómeno inestable.

Las distribuciones de dimensión finita dependerán de la separación de tiempo relativa

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