Programación Dinámica Estocastica

Programación Dinámica Estocástica. Problema 4.

Una agencia de automóviles observa una demanda constante de sus ventas de dos automóviles por día; sin embargo, el tiempo de entrega de los pedidos de autos del fabricante es aleatorio. De esta forma se ha estimado que un pedido a la planta puede ser surtido el mismo día con probabilidad de 0.6 y el día siguiente con probabilidad 1. Estas probabilidades son independientes del número de autos que se pidan.

Un pedido surtido el mismo día por el fabricante puede ser vendido ese mismo día a un cliente determinado. Asimismo, si el pedido se demora un día, también puede ser vendido el día siguiente. Por otra parte, los pedidos no pueden ser mayores que dos automóviles, esto es, los pedidos solamente pueden ser de uno o de dos automóviles por día.

A la agencia de automóviles le cuesta $80 hacer un pedido de un automóvil y $120 hacer un pedido de dos. El mantener un automóvil en inventario le cuesta $150 por día. La utilidad que le deja la venta de cada automóvil es de $1,500, en tanto que una venta perdida le representa una pérdida de $1,600.

Se requiere que, al iniciar el día, de acuerdo al nivel de inventarios de automóviles y de los pedidos pendientes de entregar ese día, se decida hacer un nuevo pedido por uno o por dos autos, o esperar al día siguiente para hacer el pedido.

Al inicio del primer día se cuenta con dos automóviles en inventario y no se tienen pedidos pendientes de entregar ese día.

Mediante Programación Dinámica resuelva cuál debería ser la política óptima de pedidos para los primeros dos días de operación.

Solución

Variables de Decisión: Número de autos por pedir.

Variables de Estado: Autos disponibles, que están formados por los que se tienen en inventario más los que se pidieron en el día anterior y no fueron entregados.

Etapas: Días.

Al principio del segundo día se pueden tener cero, uno o dos autos en inventario, dependiendo si en el primer día se pidieron cero, uno o dos autos, respectivamente.

Etapa 1: Principio del segundo día.

Autos Disponibles No Pido

P0 Pido 1

P1 Pido 2

P2 F* X2*

0 -3200 0.6(-100)+0.4(-3200)-80

-1,420 0.6(3000)+0.4(-3200)-120

400 400 P2

1 -1600+1500

-100 0.6(3000)+0.4(-100)-80

1,680 0.6(3000-150)+0.4(-100)-120

1,550 1,680 P1

2 3,000 3000+0.6(-150)-80

2,830 3000+0.6(-300)-120

2,700 3,000 P0

Etapa 2: Principio del primer día.

Autos Disponibles No Pido

P0 Pido 1

P1 Pido 2

P2 F* X1*

2 3000

+400

3,400 3000

+0.6(-150+1680)

+0.4(1680)-80

4,510 3000+0.6(-300+3000)+0.4(3000)-120

5,700 5,700 P2

Solución: Se piden dos autos el primer día y no se pide el segundo día.

Programación Dinámica Estocástica. Problema 7.

La empresa “Grullas” se dedica a la renta de grúas para la construcción de edificios. La empresa acaba de terminar un proyecto que le ha liberado cinco grúas y está obligada a desplazarlas. Tiene clientes potenciales en Coapa, Santa Fe y Aragón, en donde también cuenta con lugares disponibles para almacenar las grúas. Mover las grúas es muy oneroso. Por ello, le gustaría saber donde almacenar las grúas temporalmente en tanto los proyectos con los clientes potenciales se concretan.

La utilidad unitaria por grúa en un proyecto en Coapa, Santa Fe y Aragón se estima en 600, 700 y 500 (cifras en miles de pesos) respectivamente. Las probabilidades de poder usar las grúas en estos lugares con los clientes potenciales se muestran a continuación:

Número de Grúas Coapa Santa Fe Aragón

1 0.3 0.1 0.2

2 0.3 0.1 0.2

3 0.2 0.4 0.3

4 0.1 0.3 0.2

5 0.1 0.1 0.1

Una posible solución sería desplazar 2 grúas a Coapa, una grúa a Santa Fe y las otras dos a Aragón, en cuyo caso en Coapa se tendría una utilidad esperada de:

600 * (1* (0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1) + 1 * (0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1)) = 1,020

En palabras, de las dos grúas se rentaría la primera con probabilidad uno y la segunda con probabilidad 0.7, que es la probabilidad de que se demanden dos o más grúas.

Mediante Programación Dinámica Aleatoria encuentre donde almacenar las grúas de tal manera que se maximicen las utilidades esperadas. Defina claramente las variables de decisión, las de estado y las etapas del problema.

Solución

Etapas: Coapa, Santa Fe y Aragón.

Variables de decisión: Número de grúas en cada lugar.

Variables de estado: Grúas disponibles en la etapa.

En la última etapa todas las grúas deben ser asignadas.

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