Progresión aritmética

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Podemos decir que una

Progresión Aritmética

es una sucesión en la que cada término es igual al número anterior más un número constante, llamado razón aritmética, o diferencia.Sea la sucesión a1, a2,a3, a4,..., an

Una P.A., para hallar la diferencia (d) hacemos: a2- a1 =a3- a2= a4- a3=…= an- an- 1= d

Luego tenemos: A la diferencia la podemos llamar Razón Aritmética

Otra descripción es la que nos dice que la sucesión de términos también llamados términos y que se continúan uno a otro en forma sucesiva están separados por una diferencia común.

Veamos algunos ejemplos:

a)Múltiplos de 7:

0, 7; 14; 21; 28;…. Dónde:

d = 14-7 = 21 –14 = 28 –21 =…7

b)

En la P.A.: 50; 48; 46; 44, tenemos que:

d = 48 –50 = 46 - 48 = 44 - 46 = - 2

Ahora veamos el Termino General ( an)En una Progresión Aritmética (P.A.) de n términos, el termino que ocupa la posición n es igual a la suma del primer término (a1) más (n –1) veces la diferencia (d).

Resolvamos estos ejercicios:

1. Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6.° piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m.

Resolución:

Es claro que si se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m.

Así pues, se está en el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8.

El problema se resuelve calculando el término 6.°:

an = 4 + (n - 1).2.8

a6 = 4 + (6 - 1).2.8 = 18

2. Dada la progresión aritmética:7; 10; 13; 16;… halla el término a83

Solución:

1° a1= 7

2° an= a1+ (n-1 )d

d = 10- 7 = 3

a83= 7 + (83 –1)3

n = 83

a83= 7 + (82)3

a83= 253

3. Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones:

a) 11, 23, 35…. 7 términos

A7=11+(7-1)12

A7=11+72

A7=83

b) 13, 5, -3, 8 términos

A8=13+(8-1)-8

A8=13+(-56)

A8=-43

...