Regla de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital 1

Regla de l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer

esta regla.

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla

de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] usa derivadas para

ayudar a evaluar límites que estén en forma indeterminada. La

aplicación de esta regla es que frecuentemente convierte una forma

indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el

límite mucho más fácilmente.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo

XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704),

quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits

pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha

escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la

regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y

demostró.[1]

Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las

indeterminación del tipo ó

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(a)=g(a)=0 y g(x)≠0 para a<x<b.

Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a).

Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una

demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2]

• Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

• Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

Regla de l'Hôpital 2

Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al

límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean

las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

Ejemplo #1

aplicando

...