Regla de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital 1

Regla de l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer

esta regla.

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla

de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] usa derivadas para

ayudar a evaluar límites que estén en forma indeterminada. La

aplicación de esta regla es que frecuentemente convierte una forma

indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el

límite mucho más fácilmente.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo

XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704),

quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits

pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha

escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la

regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y

demostró.[1]

Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las

indeterminación del tipo ó

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(a)=g(a)=0 y g(x)≠0 para a<x<b.

Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a).

Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una

demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2]

• Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

• Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

Regla de l'Hôpital 2

Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al

límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean

las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

Ejemplo #1

aplicando la definicion se realiza

Ejemplo #2

aplicando la definicion se realiza

Regla de l'Hôpital 3

Ejemplo #3

aplicando la definicion se realiza

Ejemplo #4

Puesto que podemos aplicar L'Hospital

Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante

transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la

aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

• Tipo

Regla de l'Hôpital 4

Véase también

• Límite (matemática)

• Infinitésimo

• Límite de una función

Referencias

[1] María Cristina Solaeche Galera (1993). « La Controversia L'Hospital - Bernoulli (http:/ /

...