SISTEMAS DE LOS NUMEROS REALES

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Introducción

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales.

Números tales como:1,3, , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes conjuntos:

1. Conjunto de los números naturales.

El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, generalmente se presenta asi:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

2. Conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , se presenta asi:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.

Puede notarse que N ⊂ Z.

3. Conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera:

Q = / m, n son enteros y n ≠ 0

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación:

a * x = b, con a, b R, a ≠ 0.

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b.

(quiere decir que la división sea exacta)

Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que:

Z ⊂ Q

En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero.

4. Conjunto de los números irracionales.

En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación:

x2 = 2.

Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ∈ Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ∈ Q y n ∈ N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución.

El conjunto de los números irracionales, que se denota por Qc, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional.

Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), π , etc.

En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son:

x = que no son números racionales.

5. Conjunto R de los números reales R =Q ∪ Qc.

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