Sólidos de revolución

Solidos de revolución

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje.

Los sólidos de revolución son comunes en la vida cotidiana ya que son gran variedad de objetos cotidianos como ruedas, embudos, píldoras, botellas y pistones  

Aplicación de  la integral Una de las aplicaciones de la integral definida es el cálculo de volúmenes de solidos tridimensionales.

En estos cálculos de volumen se realizan por 3 destacados métodos, los cuales son:[pic 1]

1. El método por discos

Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y esa recta se llama eje de revolución (eje de giro). El más simple es un cilindro circular recto o disco generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.[pic 2] 

1. El método por arandelas

El método de discos se extiende a sólidos huecos. La arandela se genera haciendo girar un rectángulo en torno al eje.

Si r y R denotan los radios interno y externo de la arandela y ω su anchura

Se considera una región acostada por un radio externo R(x) y un radio interno r(x)

Al girar en el eje de revolución el volumen del solido viene dado por [pic 5]

• La integral del r(x) representa el volumen del hueco y se resta a la integral que contiene el R(x)

1. El método por capas

Se llama método de las capas porque utiliza capas cilíndricas [pic 6]

Se considera un rectángulo de anchura w y altura h y donde p denota la distancia del centro del rectángulo al eje de revolución

Al girar este rectángulo entorno al eje de revolución se forma una capa cilíndrica (tubo) de espesor w.

Para calcular el volumen de esa capa consideramos dos cilindros

[pic 9][pic 10]

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