Solidos Revolucion

Descripción del problema

Método de capas

Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas debe de usarse alguna de las siguientes figuras con sus respectivas formulas:

Volumenes=V=2π∫_c^d▒P(y)h(y)dy

Figura 1.- Eje horizontal de revolución

(1)

Volumenes=V=2π∫_a^b▒P(x)h(x)dx

Figura 2.- Eje vertical de revolución

(2)

Otra técnica que servirá para resolver los ejercicios propuestos es el cálculo de una superficie de revolución.

Y se describe como sigue:

Si y=f(x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b] entonces el área de la superficie de revolución S formada al girar la gráfica de f alrededor de un eje horizontal o vertical es:

S=2π∫_a^b▒〖r(x) √(1+[f^' (x)]^2 ) dx〗

Donde r(x) es la distancia entre la gráfica de “f” y el eje de revolución correspondiente. (3)

Descripción del problema:

1.- Se proyecta un flotador con una forma mostrada a continuación, se gira del eje “x”, donde se miden “x” e “y” en decímetros, calcular el volumen del flotador.

En este problema se trata un volumen con formula básica y conocida, teniendo que el volumen realiza un giro alrededor del eje “y” se tiene que es necesario utilizar la Figura 1. De tal manera que se obtendrá una función que tiene la variable dependediente igual a “x”.

Reescribiendo la Figura 3.b) utilizando lo que se conoce de la Figura 1. se tiene lo que sigue:

2.- Considerar que la velocidad en la colada de acero antes de la solidificación. Calcular el área de la superficie formada al girar la gráfica de f(x)=x3 en el intervalo [0,1] alrededor del eje x.

Solución del problema

Resolviendo el ejercicio 1.

La primera ecuación que describe la curvatura de una sección elíptica.

x^2/16=(1-y)

Se despeja la “x”, hasta obtener una ecuación en función de “y”.

x^2=16(1-y)

x=±√(1-y)

Se sustituye la “x” en h(y):

h(y)=2x=8√(1-y)

Se sustituye la ecuación en de h(y) y de P(y) en la fórmula del volumen para así utilizar el método de capas.

V=2π∫_0^1▒P(y)h(y)dy=2π∫_0^1▒〖y(8√(1-y))dy=16π∫_0^1▒〖y√(1-y)〗〗

Dado que la integral descrita en la ecuación (6) no es directa se debe emplear una técnica de integración llamada cambio de variable, con lo que se obtiene una nueva función más sencilla de integrar así como su diferencial.

u=1-y y=1-u

du=-dy

Se sustituye la ecuación (7) en la ecuación (6) y se integra ambas partes utilizando la formula directa de una integral de una función elevada a un exponente.

V=16π∫_0^1▒〖(1-u) √u du=16π[∫_0^1▒〖-√u du+∫_0^1▒〖u^(3/2) du〗〗] 〗

Se sustituyen los limites

16π[2/5 u^(5/2)-2/3 u^(3/2) ]_0^1=16π{[2/5 (1-1)^(5/2)-2/3 (1-1)^(3/2) ]-[2/5 (1-0)^(5/2)-2/3 (1-0)^(3/2) ]}

Y se obtiene el resultado en decímetros cúbicos.

V=64π/15 dm^3

Solución del ejercicio número 2.

Ecuación que describe el comportamiento teórico de la velocidad antes de la solidificación y la derivada de la función

f(x) 〖=x〗^3 f^' (x)=3x^2

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