SOLIDOS EN REVOLUCION

VOLUMEN DE SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN

Los sólidos en revolución son figuras que se forman al rotar un área plana alrededor de un eje en nuestro caso el eje (X y Y), para encontrar el volumen de dichos sólidos es necesario conocer la función de origen.

Existen 2 métodos para calcular el volumen en los sólidos de revolución: El método del DISCO y el las ARANDELAS y tomando en cuenta que ya tenemos la función de origen se realizan los siguientes pasos.

1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

¿QUE ES UN SOLIDO DE REVOLUCIÓN?

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Métodos para de calcular

Método del disco:

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = wR2π

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Fórmula del volumen por discos

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)

Ejemplo 1: Si un sólido con base circular de radio 1. Las secciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, Son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.

Solución: Consideremos que el círculo está centrado en el origen de coordenadas, es decir, tiene ecuación x2+y2 = 1.

Ejemplo 2:

Determinar el volumen de una cuña, cortada por un cilindro circular por un plano, que pasando por el diámetro de la base está inclinado respecto a ella formando un ángulo _. El radio de la base es igual a R.1

Solución:

Tomamos el eje x como el diámetro de la base, por el que pasa el plano de corte y el eje y, perpendicular

Al anterior. La ecuación de la circunferencia de la base será x2 + y2 = R2.

Se puede verificar por triángulos semejantes que la sección transversal, ABC, de la cuña perpendicular al diámetro que

Se encuentra a la distancia x del origen de coordenada 0 es un triángulo rectángulo isósceles. Si denotamos por y (x) a la

Base y altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a

Ejemplo 3:

Los ejes de dos cilindros horizontales, ambos de radio a, se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen de su sólido de intersección.

Solución:

Tenemos:

Cilindros horizontales que se intersectan perpendicularmente Sólido intersección entre los cilindros

Observemos que cada sección transversal es un cuadrado, cuyo lado se extiende a

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