Teoria Combinatoria

Teoría Combinatoria

La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del recuento de los objetos de dichas colecciones y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe.

1- Teorema del Conteo

R: El principio fundamental del conteo dice que si puedes hacer “n” tareas, cada una de n_k maneras diferentes, el número de formas de hacer la tarea que consiste en todas las “n” tareas es:

n_1*n_2*...n_k, es decir, el producto de las formas en que puedes hacer cada tarea.

Ejemplo: Si tienes 3 camisas, 5 pantalones y 7 pares de zapatos, el número de vestidos que puedes formar es: 3 x 5 x 7 = 105.

2- Permutaciones

R: En el conjunto {1, 2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

 Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.

 En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

La permutación antes citada "1, 3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ (1)=1, σ (2)=3 y σ (3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.

Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.

Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X.

3- Variaciones

R: Vn, m: sirve para contar los diferentes grupos de m elementos que se pueden formar en un conjunto de n elementos (m < n).

Los elementos no se pueden repetir e influye el orden en el que los colocamos. V n, m = n (n - m)

 Variaciones con repetición: de n elementos tomados de m en m, VRn, m: es una variación en la que los elementos se pueden repetir.

VRn, m = nm

4- Combinaciones.

R: Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.

Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería:

P (9,5)/5 = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

• La Combinatoria: trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo debe ser las combinaciones y determinar cuántas combinaciones existen que cumplan dicha regla.

Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto el número de permutaciones es el número de n-tupl

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