Teoría Combinatoria
Enviado por MAGD.80 • 24 de Junio de 2013 • 1.687 Palabras (7 Páginas) • 278 Visitas
TEORIA COMBINATORIA.
CONCEPTOS DE COMBINATORIA
En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Población
Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
2. Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad de repetición o no de los elementos.
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!
Ejemplo
Calcular factorial de 5.
DEFINIR EL NÚMERO COMBINATORIO
El número C_n^m se llama también número
5/6 combinatorio. Se representa por (█(m@n)) y se lee "m sobre n".
Ejemplo
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
Los números de este tipo se llaman complementarios.
Ejemplo
Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.
VARIACIÓN
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por V_m^n o V_(m,n)
Ejemplos
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.
2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
m = 6n = 3 m ≥ n
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito menos el inicial.
m = 5 n = 2
4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
m = 10n = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.
COMBINATORIA
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Las combinaciones se denotan por
Ejemplos
Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
PERMUTACIÓN
Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos
Calcular las permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
FACTORIAL DE UN NÚMERO POSITIVO
El factorial de un número entero positivo se define como el producto que se obtiene de multiplicar los números enteros desde 1 hasta el número n indicando el factorial. La notación de factorial que usaremos es la siguiente: n!2 Al respecto, la definición queda expresada en símbolos así:
Tambien
Donde n ∈Z^+
Ejemplos:
1Considerar Z^+={1,2,3,…}
2En algunos textos es común utilizar otras notaciones como ├ n⌋,⌊n┤
1!=1
3!=1•2•3=6
4!=1•2•3•4=24
(3/2)!=∄,ya que 3/2∈Z^+
√2!=∄,ya que √2 ∈ Z^+
Nota: para el caso factorial de cero (0!) se toma convención
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