PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA TEORÍA COMBINATORIA
Ori_NyanTrabajo29 de Mayo de 2021
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1]
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL MARÍTIMA DEL CARIBE
INGENIERÍA EN INFORMÁTICA
PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA TEORÍA COMBINATORIA
Catia la Mar, enero 2021
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE ii
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I
PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA TEORÍA COMBINATORIA 2
Correspondencia 2
Principio de la Suma 3
Principio del Producto 4
Arreglos 5
Arreglos con Repetición 5
Permutaciones 6
Permutaciones con Repetición 7
Combinaciones 8
Combinaciones con Repetición 8
Coeficientes Binomiales 9
Triangulo Aritmético 11
Coeficientes Multinomiales 12
Principio de Inclusión y Exclusión 13
CONCLUSIÓN 15
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 16
INTRODUCCIÓN
La combinatoria es tan antigua como la propia matemática; y la misma esta principalmente enfocada en la operación básica de contar los elementos de un conjunto, lo cual es una actividad ligada al origen mismo del concepto de números en los tiempos antiguos. Sin embargo, esta teoría ha evolucionado de ese simple concepto de contar, estableciendo leyes y principios que definen las relaciones que se producen en los problemas combinatorios.
En la actualidad, algunos autores consideran que la combinatoria “pura” sigue en la búsqueda del perfeccionamiento, evolucionando en la dirección de encontrar y desarrollar principios y teorías unificadoras que permitan ordenar y sistematizar el gran número de resultados existentes, los cuales son aparentemente dispersos e inconexos.
Es así, como en los últimos años la teoría combinatoria ha conseguido captar un interés formidable, debido principalmente a sus aplicaciones en las ciencias de la computación, donde desempeña un papel central dentro del concepto de algoritmo; ya que al estimar la eficiencia de uno es preciso contar el número de veces que se efectuará cada paso del mismo, lo cual es un típico problema combinatorio, demostrando así los diversos alcances que tiene este estudio.
CAPÍTULO I
PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA TEORÍA COMBINATORIA
Veerarajan (2008) indica que: “La combinatoria trata con el conteo del número de maneras de arreglar o elegir objetos de un conjunto finito de acuerdo con ciertas reglas especificadas” (Pág. 314). Por tanto, se percibe que la combinatoria se puede definir como el arte y ciencia del contar. Sin embargo, Nieto Said (1996) expresa que: “Si bien los métodos de recuento forman parte esencial de la combinatoria, ésta contempla también otros aspectos” (Pág. 1).
Entonces, definir la combinatoria simplemente como contar resulta inadecuado, ya que esta contempla el estudio de las relaciones de la distribución de los elementos entre conjuntos. Dichas relaciones, necesitan del conteo; pero van mucho más allá al regirse por determinadas normas y producirse de ciertas maneras entre dos o más conjuntos finitos.
Correspondencia
Según Nieto Said (1996), la correspondencia se plantea como: “Si A ∼ B, entonces |A| = |B|” (Pág. 4). En otras palabras, consiste en el conteo de los elementos de A mediante la correspondencia con los elementos de un conjunto B; del cual solo se sabe su cardinalidad, siendo esta igual a la del
conjunto A. Por consiguiente, es una regla sencilla y bastante aplicable en la práctica, en la cual se hacen coincidir elementos de dos grupos distintos.
Por ejemplo, si en un torneo de voleibol se inscriben 8 equipos, para saber cuántos juegos deben realizarse para tener un ganador se hace uso de la correspondencia. Sabiendo que solo uno resultará victorioso y que en cada juego se eliminará a un equipo, es lógico deducir que se jugarán tantos partidos como equipos resulten eliminados. De esa forma, se puede representar la correspondencia como n – 1, donde n es el número de equipos. De ahí que, al efectuar los cálculos, se obtiene que se jugarán 7 partidos en el torneo de voleibol.
Cabe destacar, este ejercicio se puede complicar al tener un número impar de equipos; ya que en tal caso se necesitará tomar en cuenta que no en todas las rondas habrá un número par de equipos, haciendo que alguno avance directamente sin pasar por un partido, añadiendo una nueva variable al problema.
Principio de la Suma
De acuerdo con Ralph Grimaldi (1996), el principio de la suma se puede enunciar como: “Si una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas” (Pág. 4).
Por lo antes expuesto, se entiende que el principio de suma establece que, para llevar a cabo el conteo de los elementos de la unión de dos o más conjuntos, se emplea la suma de la cardinalidad de cada uno de ellos; siempre y cuando se cumpla con la condición de que ninguno de ellos tenga algún elemento en común.
Es decir, supóngase que una persona hace un inventario de su ropa y organiza su armario según el tipo de prendas que posee; teniendo que hay 8 camisas, 5 suéteres y 6 pantalones. De esta forma, se consigue que el total de ropa al sumar la cantidad de elementos de cada conjunto de prendas, ya que ninguno está conformado por elementos en común; resultando que esa persona posee un total de 19 prendas en su armario.
Principio del Producto
El autor Richard Johnsonbaugh (1999) expone que el principio del producto se puede definir como: “Si una actividad puede construirse en t pasos sucesivos y el paso 1 puede realizarse de n1 formas; el paso 2 puede realizarse de n2 formas; ...; y el paso t puede realizarse de nt formas, entonces el número de diferentes actividades posibles es n1 ∙ n2 ∙ … ∙ nt” (Pág. 198).
Dicho de otra forma, el principio del producto expresa que el número de posibles combinaciones existentes entre los elementos de dos o más conjuntos se consigue al multiplicar la cardinalidad de cada uno de ellos. Por ejemplo, si una costurera tiene 5 botones, 2 agujas y 4 hilos de diferentes colores.
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