Trigonometria Del Triangulo Rectangulo
gaboovertel20 de Marzo de 2014
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Trigonometría del triángulo
rectángulo
L E C C I Ó N
12.1
CONDENSADA
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 12 177
©2010 Key Curriculum Press
(continúa)
En esta lección
● aprenderás sobre razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo
● usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales
desconocidas de un triángulo rectángulo
● usarás inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos
desconocidas en un triángulo rectángulo
Supón que elevas una cometa. Hay un viento fuerte, por lo tanto la cuerda está
tensa. Has marcado la cuerda, por lo tanto sabes cuánta cuerda has soltado y puedes
medir el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. Puedes usar una razón
trigonométrica para hallar la altura de la cometa. En esta lección aprenderás cómo.
La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulos rectángulos
con las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que los triángulos que tienen
las mismas medidas angulares son semejantes, y por lo tanto las razones de sus
lados correspondientes son iguales. Los triángulos rectángulos tienen nombres
especiales para las razones.
Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo,
A
B
C
b
c
a
Este cateto es
opuesto a A.
Hipotenusa
Este cateto es
adyacente a A.
el seno (sin) de A es la razón entre la longitud del cateto
opuesto a A y la longitud de la hipotenusa.
sin A
cateto opuesto
hipotenusa ac
El coseno (cos) de A es la razón entre la longitud del
cateto adyacente a A y la longitud de la hipotenusa.
cos A
cat
h
et
i
o
p
o
a
t
d
en
ya
u
c
s
e
a
nte
bc
La tangente (tan) de A es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la
longitud del cateto adyacente.
tan A
cateto opuesto
cateto adyacente ab
Lee el Ejemplo A en tu libro y después lee el siguiente ejemplo.
EJEMPLO Halla la longitud desconocida, c.
25
14
C A
c
B
Solución Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud
de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno.
sin 25° 1
c
4
c 14 sin 25°
33.13
Lección 12.1 • Trigonometría del triángulo rectángulo (continuación)
178 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2010 Key Curriculum Press
El inverso de una función trigonométrica da la medida del ángulo que tiene una
razón dada. Por ejemplo, sin 30° 1
_2 , por lo tanto sin 1 1
_2 30°. El Ejemplo B
en tu libro usa el inverso de la función tangente. Lee el ejemplo atentamente.
Investigación: Escalones empinados
Lee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Completa los Pasos 1–4
de la investigación y después compara tus resultados con los siguientes.
Paso 1 Primero dibuja un escalón con la máxima distancia vertical y la mínima
distancia horizontal.
Sea x el ángulo de inclinación. Dado que tanto el piso como la distancia
10 in.
7.75 in.
x
x
horizontal son horizontales (y, de este modo, paralelos), el ángulo
entre la distancia horizontal y la hipotenusa también es x. Conoces la
longitud de los lados opuestos y adyacentes, por lo tanto usa la
tangente para resolver para x.
tan x _7_.7_5_ 10
x tan 1 _7_.7_5_ 10 37.8°
El ángulo de inclinación es de aproximadamente 38°.
Paso 2 Dos tramos de escalera que siguen tanto el código como la regla general son una
serie con una unidad de distancia horizontal de 11 in y una unidad de distancia vertical de
6.5 in, y un tramo de una unidad de distancia vertical de 11.5 in y una unidad de distancia
vertical de 6 in. Los ángulos de inclinación respectivos para estos tramos de escalera se
obtienen por tan1 6.5
_1_1 30.6° y tan1 6
_11_. _5 27.6°.
Un ejemplo de un tramo de escalera que sigue la regla común pero no el código es un tramo
con una unidad de distancia vertical de 8.75 in y una unidad de distancia vertical de 8.75 in.
El ángulo de inclinación para este tramo se obtiene por tan1 8.75
_8._7_5 45.0°.
Paso 3 Consulta la foto y el diagrama de la página 682 en tu libro.
a. Existe una infinidad de diseños posibles, pero no todos los diseños siguen
los códigos dados en el Paso 1. Por ejemplo, una escalera con una unidad
de distancia vertical de aproximadamente 15.6 in y una unidad de distancia
vertical de 41 in se ajustaría al ángulo de inclinación de 20.8° pero no seguiría
el código, porque la distancia vertical es muy alta.
b. Para hallar la solución, sea r la unidad de distancia horizontal. Entonces la unidad de
distancia vertical será representada por 17.5 r. Para hallar r, usa la razón tangente.
tan 20.8° 1_7_._5_r _ __ _r
0.3799 1_7_._5_r _ __ _r
0.3799r 17.5 r
1.3799r 17.5
r __1_7_.5_ _ 1.3799
r 12.68 in
Por lo tanto la distancia horizontal es 12.68 in y la distancia vertical es
17.5 – 12.68 4.82 in.
Paso 4 Usa la función tangente y que sea x el ángulo de inclinación. Usando
tan x 1
_1_6 , x tan1 1
_1_6 3.58° y usando tan x 1
_2_0 , x tan1 1
_2_0 2.86°.
Por lo tanto el ángulo debe estar entre 2.86° y 3.58°.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 12 179
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La Ley de los senos
En esta lección
● descubrirás y aplicarás la Ley de los senos, que describe una relación entre
los lados y los ángulos de un triángulo oblicuángulo
Has investigado las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos
rectángulos. Ahora investigarás las relaciones entre los lados y los ángulos de
los triángulos no rectángulos, o triángulos oblicuángulos (oblique).
Investigación: Triángulos oblicuángulos
Paso 1 Dibuja un triángulo acutángulo ABC. Rotula el lado opuesto a A
B a
h
c b
C
A como a, el lado opuesto a B como b, y el lado opuesto a C
como c. Después, dibuja la altitud que va de A a
___
BC . Rotula la altitud
como h. A la derecha está el ejemplo.
Paso 2 Del diagrama, puedes escribir las siguientes ecuaciones:
sin B hc
ó h c sin B
sin C hb
ó h b sin C
Como ambos c sin B y b sin C son iguales a h, también son iguales entre sí. Es decir,
c sin B b sin C
Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre bc, se obtiene:
sin
b
B
sin
c
C
Paso 3 Ahora, dibuja la altitud que va desde B a
___
AC y rotúlala como j. Usando
un método parecido al del Paso 2, debes hallar que:
sin
a
A
sin
c
C
(¡Asegúrate de que puedes derivar esta ecuación por tu cuenta!)
Pasos 4 y 5 Puedes combinar las proporciones de los Pasos 2 y 3 para escribir
una proporción extendida:
sin
a
A
sin
b
B
sin
c
C El triángulo que dibujaste en el Paso 1
es acutángulo. ¿
Crees que la misma
proporción será válida para los triángulos obtusángulos?
Paso 6 Dibuja un triángulo obtusángulo ABC y mide cada ángulo y A
B
C
126 23
31 6.3 cm
4 cm
3 cm
lado. Éste es un ejemplo.
Halla sin
a
A
, sin
b
B
, y sin
c
C
para tu triángulo. Para el triángulo a
la derecha:
sin
a
A
sin
4
3 1 °
0.13 sin
b
B
sin
3
2 3 °
0.13 sin
c
C
sin 126°
_______ 6.3 0.13
Por lo tanto, parece que sin
a
A
sin
b
B
sin
c
C
es válido para triángulos
obtusángulos también.
(continúa)
L E C C I Ó N
12.2
CONDENSADA
Lección 12.2 • La Ley de los senos (continuación)
180 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2010 Key Curriculum Press
El Ejemplo A en tu libro aplica lo que has aprendido en la investigación a un
problema real. Lee el ejemplo atentamente. La relación que descubriste en la
investigación se llama Ley de los senos. Se resume en el recuadro “Law of Sines”
...