Trigonometria
Mariana970127 de Febrero de 2013
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TRIGONOMETRÍA
ETIMOLÓGICAMENTE:
Trigonometría, es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo del valor o medida de alguno de ellos.
EN LA ACTUALIDAD:
Trigonometría: es la rama de la matemática que estudia las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes cartesianos o de coordenadas rectangulares y su radio mide la unidad.
ÁNGULOS: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen común llamado vértice. Las semi-rectas son lados del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el lado final o terminal.
EL ÁNGULO GEOMÉTRICO es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser positivo o negativo. Si se considera al ángulo como una rotación de una semi-recta; bien en sentido contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo).
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos se miden mediante varios sistemas, siendo los más usuales: el sistema Circular o Radian, el sistema Sexagesimal y el sistema Centesimal.
EL SISTEMA CIRCULAR O RADIAN: Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. La unidad es el radian.
El ángulo llano mide Radianes, o sea: 180º
El ángulo recto mide Radianes, es decir: 90º
Por ser la longitud de la circunferencia 2 . r, que contiene 360°, entonces 2 . r = 360°, por lo tanto:
1 radian = = 57,296° = 57º 17’ 45” .∙. = 3,14159
SISTEMA SEXAGESIMAL: Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60.
La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1/3600 ava parte de la circunferencia de un círculo.
Un minuto (‘) es la ava parte de un grado; un segundo (“) es la ava parte de un minuto, o sea ava parte de un grado.
Sistema Centesimal: La circunferencia también puede ser dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado centesimal posee 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales.
OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
ADICIÓN DE MEDIDAS ANGULARES:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: 47° 23’ 42” + 241° 18’ 6” + 136° 22’ 11”
47° 23’ 42”
241° 18’ 6” Resultado: 424° 53’ 59”
136° 22’ 11”
424° 53’ 59”
2. Efectuar: 248° 41’ 38” + 121° 58’ 34” + 88° 46’ 56”
2° 2’
248° 41’ 38”
121° 58’ 34”
88° 46’ 56” Resultado: 359° 47’ 8”
359° 147’ 128”
-120’ -120”
47’ 8”
SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS ANGULARES
EJEMPLOS:
1. Restar: 78° 43’ 28” de 119° 58’ 36”
119° 58’ 36”
78° 43’ 28”
41° 15’ 8”
2. Efectuar: 211° 36’ 15” - 198° 24’ 49”
35’ 60”
211° 36’ 15”
- 198° 24’ 49”
13° 11’ 26
3. Efectuar: 96° 15’ 18” - 75° 49’ 52”
74’
75’ 78”
95° 60’ 60” + 78”
96° 15’ 18”
- 75° 49’ 52“
20° 25’ 26”
MULTIPLICACIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR POR UN ESCALAR:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: 6 (32° 7’ 9”)
32° 7’ 9”
6
192° 42’ 54”
2. Efectuar: (54° 25’ 48”). 9
58° 32’
+ 4° + 7’
54° 25’ 48”
9
522° 288’ 432”
-240’ -420”
48’ 12”
DIVISIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR ENTRE UN ESCALAR:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: (162° 54’ 36”) : 9
162° 54’ 36” 9
72° 0’ 0” 18° 6’ 4”
0º
2. Dividir: (149° 38’ 54”) : 6
149° 38’ 54”
- 29° + 120” 6
5 x 60’ = 300’ 174”
338’ 54” 24° 56’ 29”
38’ 0”
2´ x 60”
CONVERSIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL AL SISTEMA SEXAGESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo del sistema decimal al sexagesimal, se multiplican las cifras decimales por sesenta (60’) para convertirlos en minutos y si aún existen cifras decimales, se multiplican nuevamente por sesenta (60”) para convertirlos en segundos, siendo la parte entera del número dado, los grados y de las partes enteras de ambas multiplicaciones los minutos y segundos de la medida angular.
EJEMPLOS:
A ) 29,23° B ) 62, 4° 62° 24’
29, 23° 29°
0,23 0,4
.60 . 60’
13,80 13’ 24,0 62° 24’
0,8.
60
48,0 48”
29, 23° = 29° 13’ 48”
CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL CENTESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo dado en el sistema sexagesimal, se plantea una suma de fracciones en donde los grados son la parte entera, los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3600; y luego se efectúa la división para llevarlo a centesimal.
EJEMPLOS:
Transformar Al Sistema Centesimal:
1.- 48° 30’
48° + =
2.- 98° 7’ 30”
CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES O VICEVERSA:
Para convertir radianes a grados, se multiplica la expresión dada por y para transformar grados a radianes, se multiplica por Rad.
EJEMPLOS:
1.-
2.-
3.- Transformar 50° a radianes
50° = 50°.
4.- Expresar en radianes la expresión: 42° 24’ 35”
a) En primer lugar transformamos la expresión dada al sistema
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