Unidades De Matematicas

UNIDAD 4. DIFERENCIACION E INTEGRACIÒN NUMERICA.

4.1. Diferenciación numérica.

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función.

Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa. La cuesta de esta línea es

Esta expresión es Neutonio's cociente de la diferencia.

La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una línea de la tangente:

Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.

Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante próxima a través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)). La cuesta de esta línea es generalmente, la valoración del tres puntos utiliza la línea secante a través de los puntos (x − h1,f(x − h1)) y(x + h2,f(x + h2)).

La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que la valoración del dos-punto cuando h es pequeño.

A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas.

Se puede representar generalmente como:

o

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.

Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada.

Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita.

Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2.

Las primeras usan a, mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada.

Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.

Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS.

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:

Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás.

APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES.

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

para obtener

que se puede resolver para

o

La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas )de la primera derivada.

Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden

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