Matematicas III, Unidad I

1.1 DEFINICION DE VECTOREZ EN R², R³ (INTERPRETACION GEOMETRICA)

DEFINICION DE VECTOR.

Un vector es un segmento rectilíneo, en el cual su longitud se conoce como longitud de vector y su dirección, dirección del vector.

También se define al vector como una cantidad que posee: magnitud, dirección y sentido; como ejemplo de vectores podemos citar: la posición el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el esfuerzo, la deformación, etc.

En varias aplicaciones físicas aparecen ciertas cantidades tales como la temperatura y la rapidez que solo poseen magnitud. Estas pueden representarse por números reales que se denominan escalares.

SISTEMAS DE COORDENADAS (DIMENSIONES)

Lineal (1-D)

Sistemas de coordenadas Planar (2-D)

Tridimensional (3-D)

UBICACIÓN DE VECTORES EN UN SISTEMA 3D

A = (3,-8,4) = ‹3,-8,4› = 3i-8j+4k

B = (2,3,2)

C = (-2,4,2)

D = (-5,5,0)

E = (√16,-9,R) R: puede representar cualquier numero real (por ejemplo -5). E = (4,-9, -5)

USO DE VECTORES PARA EL CÁLCULO DE LA RESULTANTE

EJEMPLO No. 1

Determine la grafica y analíticamente los componentes de x e y, de una fuerza de 320 N con dirección 530; así como también encuentre su resultante.

SOLUCION:

Fx = 320Cos 530 Fy = 320Sen 530

Fx = 192.58 N Fy = 255.56 N

FR=√(192.58)²+(255.56)²

FR= 320 N

EJEMPLO No. 2

Determine gráficamente y analíticamente los componentes x, y, y z de una fuerza de 500 lb. De la siguiente figura:

SOLUCION:

Fx = 500cos 250 Fy = 500cos 650 Fz = 500cos 1200

Fx = 453.15 lb Fy = 211.30 lb Fz = -250 lb

EJEMPLO No. 3

Encuentre la ubicación de la resultante del sistema de fuerzas:

F1 = 20 N a 00

F2 = 14 N a 600

F3 = 17 N a 1350

F4 = 12 N a 2100

F5 = 15 N a 2700

SOLUCION:

F1x = 20Cos 00 F1y = 20sen 00

F1x = 20 N F1y = 0

F2x = 14cos 600 F2y = 14sen 600

F2x = 7 N F2y = 12.12 N

F3x = 17cos 1350 F3y = 17sen 1350

F3x = -12.02 N F3y = 12.02 N

F4x = 12cos 300 F4y = 12sen 300

F4x = -10.39 N F4y = -6 N

F5x = 15cos 2700 F4y = 15sen 2700

F5x = 0 N F4y = -15 N

Fx = 4.5869 N Fy = 3.1451 N

FR = (4.5869)²+ (3.1451)²

FR = 5.561 N

 = Tan-1 Fy/Fx = 3.1451 N/4.5869 N

 = 34.430

EJEMPLO No. 4

Dos cables están unidos en el punto soportados como se indica en la figura. Sabiendo que P = 640 N. Determine la tensión en cada cable.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

SOLUCION

Fx = 0

TAB- 640(4/5)+TAC(28/96.16)= 0 (sustituyendo TAC) -512+TAB+77.91 =0

TAB= 434.09 N

Fy = 0

640(3/5)+TAC(92/96.16)-640= 0

384-640+TAC(0.9567)= 0

TAC = 256/0.9567

TAC = 267.58 N

EJEMPLO No. 5

Dos cables con tensiones conocidas están atados a la punte de una torre AB. Si se usa un tercer cable AC como hilante de alambre. Determine la tensión en AC, sabiendo que la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los 3 cables debe ser vertical

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

SOLUCION

Fx =0

10000cos 150 -45000cos 420+TAC(24/40)= 0

9659.25-38162.16+TAC(0.6)= 0

TAC = 28502.91/0.6

TAC = 47504.85 N

1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

Sean u, v, w, vectores en el plano y sean c y d escalares.

1.- u+v = v+u (propiedad conmutativa)

2.- (u+v)+w = u+(v+w) (propiedad asociativa)

3.- u+0 = u (identidad aditiva)

4.- u+(-u) = 0 (inversa aditiva)

5.- c(du) = (cd)u

6.- (c+d)u = cu+du (propiedad distributiva)

7.- c(u+v) = cu+cv (propiedad distributiva)

8.- 1(u) = u , (u) = 

Ejercicio: demuestre la propiedad 2; dados un sistema de vectores planares:

u= (u1, u2) 2.- (u+v)+w = u+(v+w)

v= (v1, v2) {(u1, u2)+ (v1, v2)}+ (w1, w2) = { (u1+v1),( u2+ v2)}+ (w1,w2)

w= (w1, w2) = {(u1+v1)+ w1, ( u2+ v2)+ w2}

= (u1, u2) + ( v1+ w1, v2+ w2 )

= u + (v+w)

EJEMPLO No. 6

Dado el siguiente sistema de vectores: u= ‹2,-3,4›, v= ‹-2,-3,5›,

w= ‹1.-7,3›, t= ‹3, 4,5›.

Calcular:

a) u+v

‹2,-3,4›+ ‹-2,-3,5› =‹o,-6,9›

EJEMPLO No. 7

b) t+3w-v

‹1.-7,3›+3‹1.-7,3›-‹-2,-3,5›= ‹1.-7,3›+‹3,-21,9›-‹-2,-3,5›

= ‹6,-17,14›-‹-2,-3,5› = ‹8,-14,9›

EJEMPLO No. 8

c) 2v+7t-w

2‹-2,-3,5›+7‹3, 4,5›-‹1.-7,3›= ‹-4,-6,10›+‹21,28, 35›-‹1.-7,3›

= ‹17,22,45›-‹1.-7,3›= ‹16,29,42›

EJEMPLO No. 9

d) 2u-9v

2‹2,-3,4›-3‹-2,-3,5›= ‹4,-6,8›-‹-6,-9,15› = ‹10,3,-7›

EJEMPLO No. 10

e) 2u-7w+5v

2‹2,-3,4›+7‹1.-7,3›+5‹-2,-3,5›= ‹4,-6,8›+‹7,-49,21›+‹-10,-15,25›

=‹-3,43,13›+‹-10,-15,25› = =‹-13,28,12›

EJEMPLO No. 11

f) u*v

‹2,-3,4›*‹-2,-3,5› = -4+9+20 = 25

DEFINICION DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR EN LE PLANO

Si v es un vector en el plano con punto inicial en el origen y punto final en (v1,v2), la expresión en componentes de v queda expresada como:

v= ‹ v1,v2›

Los componentes v1,v2 se denominan componentes de v.

Para entender mejor esto consideremos el siguiente análisis:

Sean P‹ P1,P2› y Q‹ Q1,Q2›los puntos iniciales y final de un segmento dirigido, entonces la expresión en componentes del vector v es:

‹ v1,v2›= ‹ Q1- P1, Q2- P2 ›

Entonces la longitud del ventor v queda representado por:

║v║= √ (Q1- P1)² + (Q2- P2)² es decir: ║v║= √ (V1)² + (V2)²

EJERCICIO No. 12

Hallara la la expresión en componentes y calcular la longitud del vector v con

‹ 3,-7› y ‹ -2,5›.

v1,v2=‹ -2-3, 5-(-7)›= ‹ -5,12›

║v║= √ (-5)² + (12)² = 13

VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCION DE V:

Si v es un vector no nulo en el plano, el vector:

U = v = 1 v

║v║ ║v║

Por lo que tiene longitud 1 y la misma dirección que v

EJERCICIO No. 13

Hallar un vector unitario en la dirección (-2,5) y comprobar que tiene longitud 1

║v║= 29 u = 1

║v║

1/29 (-2,5) = -2/29 + 5/29

1=  (-2/29)²+(5/29)²

...