Vibraciones

VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO.

Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo.

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, es

Mx’’+ kx= F= F0 '' cos ωt donde F0 es la amplitud y ω la frecuencia de la fuerza excitadora.

La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la solución general de la homogénea una solución particular de la completa ( ) x x x = h p + . La ecuación característica es mr2 + k = 0 , las raíces de esta ecuación son imaginarias conjugadas r

k

m

= ± i y la solución general de la homogénea es x a t h n = sen( ) ω + ϕ

La solución particular de la completa es x A t

p = cosω

Así, la solución general tiene por expresión:

x a t

F

k

t

n

n

= + +

−

cos( ) cos ω ϕ

ω

ω

ω

0

2

2

1

En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente, el movimiento resultante

se compone de la suma de dos armónicos, uno de frecuencia natural ωn y otro de 6

frecuencia de la fuerza exterior ω . La amplitud del primero depende de las

condiciones iniciales y se anula para unos valores particulares, la amplitud del

segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a través de la expresión

denominada factor de resonancia:

est

n

x

A

=

−

=

2

2

1

1

ω

ω

ρ

BATIMIENTO. Fenómeno producido cuando la frecuencia natural del sistema ( ) ω n

toma un valor muy próximo a la frecuencia de la fuerza exterior (ω) , es decir, en el

caso particular en que ω n = ω + ∆ω . Para perturbación inicial nula ( ' ) x x 0 0 = = 0 se

obtiene,

x

F

k

t t n = n

0

2

ω

ω

∆ω

∆ω

sen sen

Se trata de un movimiento armónico de frecuencia ω n

y de amplitud también

armónica, ésta crece hasta un máximo y disminuye hasta que se anula, repitiendo

este ciclo de forma periódica.

RESONANCIA. Una característica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene

lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias

particulares, para cada sistema dado, produciéndose cambios de configuración de

los sistemas mecánicos que alcanzan amplitudes notables, y generalmente,

ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura: efectos

resonantes. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas

ya que depende de las características del material sometido a vibración.

Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del

sistema ( ) ω = ω n

, es decir, cuando ∆ω → 0, se produce la resonancia, la ecuación

que rige dicho fenómeno es,

x

F

k

t t = n

0

2

ω

senω .

Expresión que corresponde a un movimiento armónico de frecuencia ω n

y cuya

amplitud tiende a

...