VIBRACIONES

I. ANALISIS DE ESFUERZOS: Conceptos y Definiciones

1.1. INTRODUCCIÓN

Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas).

Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones.

El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las construcciones.

Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones

(deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas. Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen

Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, en muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la construcción.

La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aquí que el segundo objetivo es

la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.

El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las construcciones.

Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, es decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Para ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de las cargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de a experiencia en el diseño y el mantenimiento de la construcciones.

1.2. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.

Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis) respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:

Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse la estructura atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son muy superiores a la distancia entre átomos.

Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de los experimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria.

Tercera suposición: El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en

todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos materiales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, en

el caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para

materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícito con cierta aproximación.

Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación de cargas externas se consideran nulas. Es sabido que las fuerzas de interacción entre partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. Al hablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas moleculares que existen en el cuerpo sometido a cargas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado.

Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio de superposición de cargas. Se expresa como el efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple cuando se cumplen las siguientes condiciones:

• Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños con las dimensiones del sólido.

• Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.

Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.

1.3. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores

(concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 1.1a

(a) (b)

Figura 1.1 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; (b) Porción de cuerpo separado mostrando las fuerzas internas.

Para obtener las fuerzas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario utilizar el método de las secciones. Para ello debe hacerse un corte imaginario a través de una región específica dentro del cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar el diagrama de sólido libre de una de las partes. Esta situación se ilustra en la figura 1.1b. En el diagrama puede

observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actúan sobre el área expuesta de la

sección. Estas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el material adyacente.

Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la



distribución, FR y M R

en cualquier punto específico O sobre el área seccionada como se muestra en la figura

1.2a. Al hacerlo así, observe que FR

actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización

del punto. De otro lado, M si depende de la localización. En general puede escogerse como el centroide del

O

área seccionada.

(a) (b)

Figura 1.2. (a) Fuerza y momento resultante de las fuerzas internas; (b) Componentes rectangulares de la

fuerza y momentos resultantes.

Las componentes de FR

y M según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 1.2b, indican la

O

aplicación de cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:

1.3.1. Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos.

1.3.2. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el

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