Álgebra, Trigonométrica Y Geometría Analitica

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y

GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA –UNAD

COLOMBIA 26/09/2014

INTRODUCCIÓN

Con la realización de este trabajo se pretende integrar al estudiante con los conocimientos, sobre ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, sistemas de inecuaciones y ecuaciones con valor absoluto, por medio de la realización de unos ejercicios planteados, los cuales serán desarrollados de manera individual y publicados en el foro de trabajo colaborativo.

Para obtener un resultado satisfactorio se desarrollará cada uno de los ejercicios, utilizando la metodología o las propiedades que más se le faciliten al estudiante, se deberá investigar más sobre las metodologías y propiedades que aplican a cada función algebraica para poder dar solución de cada uno de los ejercicios para así fortalecer el proceso de aprendizaje y la interiorización de conceptos y análisis.

OBJETIVOS

GENERAL

Desarrollar los ejercicios planteados para la actividad de la unidad1, utilizando las metodologías y propiedades correctas para cada solución algebraica.

ESPECIFICOS

Identificar las temáticas a tratar en la unidad uno del módulo de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.

Desarrollar los ejercicios propuestos en la actividad aplicando los conceptos y temas vistos en la unidad 1

Identificar los diferentes métodos que hay para la solución de los problemas propuestos.

Fortalecer los conocimientos sobre los métodos y propiedades de las ecuaciones lineales, inecuación y ecuaciones de valor absoluto.

Punto 1

Resolver la siguiente ecuación

6((x+1)/8- (2x-3)/16)=3 (3/4 x-1/4)- 3/8 (3x-2)

Como primer paso debemos resolver los paréntesis en ambos lados de la ecuación.

(6x+6)/8-(12x-18)/16= (9 )/4 x-3/4- 9x/8+ 6/8

Cuando tenemos realizadas las operaciones de los paréntesis hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación. Para este caso seria

8- 16- 4- 4 -8- 8 2

4 8 2 2 4 4 2 2*2*2*2= 16

2 4 1 1 2 2 2

1 2 2 2 2

1 1

Cuando tenemos el MCM, que para esta ecuación es el número 16, lo multiplicamos a ambos lados de la ecuación para conservar la igualdad, este procedimiento lo realizamos para eliminar los denominadores de toda la ecuación, pero para que no salga números tan grandes dividimos el número 16 entre el denominador de cada fracción para realizar la multiplicación.

Ejemplo: Tomamos el MCM 16 y lo divido por 8 que es el denominador de la primera fracción me da como resultado 2, 16 dividido entre 16 da como resultado 1, 16 dividido entre 4 da como resultado 4, recuerden que esto se realiza por cada fracción entonces procedemos a realizar las operaciones

2(6x+6) – 1(12x -18) = 4(9x)- 4(3) – 2(9x) + 2(6)

Obteniendo como resultado

12x + 12 – 12x +18 = 36x -12 -18x +12

Como ya no tengo los denominadores procedo a realizar las operaciones para simplificar términos

30 = 18x pasamos 18 que está multiplicando la x a dividir al otro lado quedando 30/18=x lo simplificamos por dos 15/18=x, y luego por tres para tener como resultado 5/3 = x,

Resuelva la siguiente ecuación lineal

6((x+1)/8-(2x-3)/16)=3(3/4 x-1/4)-3/8 (3x-2)

Se realizan todas las multiplicaciones planteadas.

6((16x+16-16x+24)/128)= 9/4 x-3/4-9x/8+6/8

6(40/128)=(9x/4-9x/8)+(6/8-3/4)

6(5/8)=((72x-36x)/32)+((24-24)/32)

30/16=36x/32 → 15/8=9x/8 →15*8=8*9x →120=72x →

72x/72=120/72 → x=5/3

ejercicio

6 ﴾ (x+1)/8-(2x-3)/16﴿ = 3 ﴾3x/4- 1/4﴿ - 3/8 (3x-2)

= (6x+6)/8- (12x-18)/16 = 9x/4- 3/4- 9x/8+ 6/8

= 16 [ (6x+6)/8 ] – 16 [(12x-18)/16 ] = 16 [9x/4- 3/4 ]- 16 [9x/8+ 6/8]

= = 12 + 18 = 18x

= 30/18 = x

= 5/3 = x

Punto 2

Resolver la siguiente ecuación

2-[-2(x+1)-(x-3)/2 ]= 2x/3 - (5x-3)/12+3x

Como primer paso debemos resolver los paréntesis en ambos lados de la ecuación, tenemos que tener en cuenta que esta ecuación tiene llaves y paréntesis, para comenzar debemos identificar cuantas operaciones se tiene a cada lado de la ecuación y comenzar con los paréntesis, tener en cuenta los signos que hay antes de cada paréntesis, llave, incógnita y constantes para realizar las operaciones matemáticas, separar los fraccionarios que se tengan dentro de las llaves o paréntesis al realizar esto se debe tener cuidado con los signos ya que estos pueden cambiar este es el del inicio de la ecuación -(x-3)/2 observemos como va a quedar después de las operaciones

Desarrollamos los paréntesis

2-[-2x-2-x/2+3/2]= 2x/3- 5x/12+3/12+3x

Desarrollamos las llaves

2+2x+2+x/2-3/2= 2x/3-5x/12+3/12+3x

Cuando tenemos realizadas las operaciones de los paréntesis y llaves hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación. Para este caso seria

2 2 3 12 12 2

1 1 3 6 6 2

1 1 3 3 3 3 MCM 2*2*3= 12

1 1 1 1 1

Cuando tenemos el MCM, que para esta ecuación es el número 16, lo multiplicamos a ambos lados de la ecuación para conservar la igualdad, este procedimiento lo realizamos para eliminar los denominadores de toda la ecuación, pero para que no salga números tan grandes dividimos el número 12 entre el denominador de cada fracción para realizar la multiplicación.

Ejemplo: Tomamos el MCM 12 y lo divido por 3 que es el denominador de la primera fracción del lado derecho me da como resultado 4, recuerden que esto se realiza por cada fracción entonces procedemos a realizar las operaciones

12(2+2x+2+x/2-3/2)=(2x/3-5x/12+3/12+3x)12

12(2)+12 (2x)+12(2)+6(x)-6(3)=4(2x)-1(5x)+1(3)+12(3x)

Obteniendo como resultado

24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36x

Como ya no tengo los denominadores procedo a realizar las operaciones para simplificar términos

30 + 30x = 39x + 3

Dejamos las incógnitas al lado izquierdo y las constantes al lado derecho tener en cuenta el cambio de los signos

30x- 39x=3-30

Quedando como resultado

-9x=-27

Como el – 9 está multiplicando la x debo cancelarlo para eso se puede hacer de la siguiente manera pasar el -9 a dividir al otro lado de la ecuación o colocando un -9 a cada lado de la ecuación para cancelar el -9 que está multiplicando a la x

x=(-27)/(-9)

Como ya sabemos - * - da + entonces la fracción me queda positiva

x=27/9 al simplificar la fracción queda x = 3

2. Resuelva la siguiente ecuación lineal.

2-[-2(x+1)-(x-3)/2]=2x/3-(5x-3)/12+3y

2-[((-2x-2)/1)-(-x-3)/2]=(2x/3-(5x-3)/12)+3x

2-[(-4x-4-x+3)/2]=((24x-15x+9)/36)+3x

2-[(-5x-1)/2]=(9x+9)/36+3x/1

2+5x/2+1/2=(9x+9+108x)/36

5x/2+(2/1+1/2)=(117x+9)/36

5x/2+5/2+(4+1)/2=117x/36+9/36 →Simplificamos

5x/2+5/2=13x/4+1/4 → 5/2-1/2=13x/4-5x/2 → (20-2)/8=(26x-20x)/8 →

18/8=6x/8 → 9/4=3x/4 → 9*4=4*3x →36=12x

12x/12=36/12 →x=3

ejercicio

2 - [- 2 (x + 1) – (x-3)/2] = 2x/3- (5x-3)/12+ 3x

= 2 - [- 2x – 2 - x/2+ 3/2 ] = 2x/3- (5x-3)/12+ 3x

= 2 + 2x + 2 + x/2- 3/2 = 2x/3- 5x/12- 3/12+ 3x

= 24 + 24x + 24 + 6x – 18 = 8x -5x + 3 + 36x

=24x + 6x – 8x + 5x - 36x = 3 – 24 – 24 + 18

=- 9x = - 27 (-1)

= x = 3

Punto 3

Resolver la siguiente sistema de ecuaciones

3x+2y+z=1

5x+3y+4z=2

x+y-z=1

Seleccionamos el método que se quiera aplicar como mi compañero lo realizo por el método de determinantes yo lo voy hacer por el de eliminación.

Para eso debo de numerar la ecuaciones para hacerlo un poco más entendible ya que se debe eliminar una incógnita entre las ecuaciones para generar dos ecuaciones mas pero con dos incógnitas, entonces procedamos

3x+2y+z=1

5x+3y+4z=2

x+y-z=1

El método de eliminación consiste en colocar las dos ecuaciones y eliminar una incógnita para crear la cuarta, en este caso voy a tomar la que llame ecuación 1 y la que llame ecuación 3, y realizo las operaciones que tengo para X, para Y , para Z y las constantes quedando así:

3x+2y+z=1

3) x+ y -z=1

4) 4x+3y=2

Como podemos observar en la ecuación resultante que llamaremos 4 ya no tengo la incógnita z .

Posteriormente realizo la misma operación con las ecuaciones 1 y 2 o 2 y 3, para eliminar la incógnita z, yo voy a tomar las ecuaciones 1 y 2, como podemos observar la incógnita z que fue la que eleminamos en la anterior en este tenemos que igualarla para poderla restar ya que ambas están con signos positivos para eso multiplico la ecuación número 1 por -4

(3x+2y+ z=1)-4

...