Ángulo entre dos rectas

Ángulo entre dos rectas

Teorema

Si es un ángulo entre dos rectas, y , entonces:

Donde es la pendiente del lado inicial, y son la pendiente del lado final , considerando que el ángulo se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj, del lado inicial al lado final.

Existen diversos caminos para realizar la demostración de este teorema, dependiendo de los autores variará la notación, por ejemplo, nombrando diferente al ángulo que se desea medir. Es importante que comprendas cualquier texto, para que al estudiar puedas consultar otras fuentes, así como relacionar lo que ahí se muestra con las definiciones que conoces. Además, debes leer críticamente para validar si la información consultada es correcta.

A continuación, se presenta una propuesta, completa la demostración utilizando, en donde corresponda, alguno de los siguientes elementos:

180° 360° diferencia de dos ángulos suma de dos ángulos complementarios suplementarios

Las opciones anteriores puedes utilizarlas más de una vez, si es necesario.

Demostración

Considera dos rectas cualesquiera, y que se corten en un punto .

En se forman dos ángulos ________________ y .

El ángulo que medirás será el que se obtiene al hacer girar en sentido contrario a las manecillas del reloj a la recta hasta que coincide con la recta , que es el ángulo__. Es decir, considerando a como el lado inicial y a como el lado final.

La recta corta al eje en ____ y su ángulo de inclinación es ___. La recta corta al eje de las en __, formando el ángulo___.

Considera el triángulo como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de ____, se tiene:

α1 + ___ + (180° – ___) = 180°

es decir:

θ1 = ___  ___

Así que para encontrar el ángulo de a , restas el ángulo de inclinación de la recta final y el ángulo de inclinación de la recta inicial .

Si ninguna de las rectas es vertical, también se puede expresar la tangente de directamente en términos de las pendientes de las rectas y a partir de la fórmula de la tangente de la __________________:

tan θ1 = tan ( ___  ___ ) = ____ ∕ 1 + ____

Si llamas y a las pendientes de las rectas y , respectivamente,

m1 = tan ___ y m2 = tan ___

sustituyendo en la ecuación anterior, obtienes:

Esta ecuación se cumple para todo

como y son _______________, entonces:

θ2 = ___ ,

de donde:

tan θ2 = tan ( _______ ) = tan θ1

es decir:

Para concluir, responde las siguientes preguntas, respecto a la ecuación (1).

1. De acuerdo al diagrama de esta demostración, ¿a qué ángulo corresponde el ángulo del teorema?

2. ¿Por qué motivo se establece la condición de que sea distinto de 90° ó radianes?

3. ¿Se podría utilizar esta fórmula para calcular el ángulo formado entre dos rectas, si una de ellas es vertical?

4. ¿Y si una de las rectas es horizontal?

5. ¿Qué pasaría si ? Sustituye en la fórmula y explica qué sucede.

Criterios

1. Relaciona el ángulo con .

2. Utiliza las propiedades de la función tangente para explicar que la tangente de ese ángulo no está definida.

3. Explica que la pendiente de un ángulo de 90° no está definida, por lo que esta fórmula no la podría utilizar directamente.

4. Analiza

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