Elementos de la hipérbola

INTRODUCCION Y/O FUNDAMENTOS DE LA HIEPERBOLA

Una hipérbola, es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamado focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.

Elementos de la hipérbola

Focos

Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario

Es la mediatriz del segmento .

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices

Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor

Es el segmento de longitud 2a.

Eje menor

Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas

Son las rectas de ecuaciones:

Relación entre los semiejes

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

La hipérbola es una curva cónica, es decir de las que pueden obtenerse cortando un cono con un plano. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica mediante un plano que no pasa por el vértice.

La hipérbola tiene dos asíntotas, dos rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito. Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Aplicaciones de la hipérbola

Navegación

Otra de las aplicaciones recientes de la hipérbola es el de los sistemas de navegación, como LORAN (Long Range) y el GPS (Sistema de posicionamiento global)

En el sistema de navegación LORAN, dos estaciones de radio que se encuentran en una costa emiten una señal simultáneamente. Un receptor en barco en alta mar recibe las señales y puede evaluar la diferencia de tiempo en que las recibe. Si el barco se mueve de manera que esta diferencia permanezca constante, estará siguiendo una trayectoria hiperbólica cuyos focos son las estaciones de radio. Veamos la siguiente figura:

Sistema de navegación LORAN

El Sistema de Posicionamiento Global consiste en una serie de satélites de órbita baja que continuamente emiten señales indicando su posición y la hora que es. Si un receptor se encuentra en tierra y recibe la señal de tres o más satélites, puede calcular su posición como la intersección de hiperboloides y la superficie de la tierra.

APLICACIONES EN EL MUNDO

...