FUNCIÓN CUADRÁTICA NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es de la forma [pic 1] donde [pic 2][pic 3] , son coeficientes reales y [pic 4].[pic 5] El dominio de la función cuadrática son todos los números reales ([pic 6]) y su gráfica es una curva llamada “parábola”.

ECUACIÓN CUADRÁTICA Y SUS SOLUCIONES

Cuando y = 0, la función cuadrática, se transforma en [pic 7], que corresponde a la ecuación de segundo grado (o cuadrática). Para el cálculo de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado, [pic 8] y [pic 9], se utiliza la siguiente expresión:

[pic 10]

Donde las dos soluciones están dadas, cada una por:

[pic 11][pic 12]   y   [pic 13][pic 14]

Y que gráficamente, representan los puntos en donde la curva interseca al eje X.

NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO

Podemos ver la naturaleza de las raíces de la ecuación con el discriminante, [pic 15].

• Si [pic 16], la ecuación tiene dos soluciones reales iguales, es decir, [pic 17][pic 18].
• Si [pic 19], las raíces de la ecuación son reales y distintas, es decir, [pic 20][pic 21].
• Si [pic 22], la ecuación no tiene solución real, es decir, [pic 23][pic 24] , [pic 25] son números complejos.

El siguiente cuadro, muestra la relación entre a, que corresponde al coeficiente de [pic 26]x2, el discriminante y el gráfico de la función cuadrática.

Ejemplo

Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. Después de transcurridos t minutos, la altura del proyectil, en metros, por sobre el suelo está dada por la función: [pic 33].

1. ¿Qué altura alcanza el proyectil a los 4 minutos?
2. ¿En qué momento la altura del proyectil es de 78 metros?

Desarrollo:

a) Se quiere obtener la altura (imagen) a los 4 minutos, es decir,

     Reemplazamos [pic 34] en la fórmula:

     [pic 35]

     Respuesta: La altura a los 4 minutos será de 156 metros.

b) Se quiere conocer en qué minuto (pre-imagen) la altura es de 78 metros.

     Igualamos la función a 78 y se tiene que:

[pic 36]

Se obtiene una ecuación cuadrática a resolver [pic 37], para encontrar dos soluciones [pic 38] y [pic 39].

     Las soluciones (pre-imágenes) de la ecuación se obtienen a través de la fórmula cuadrática:

[pic 40]

Separando las soluciones [pic 41][pic 42]

Respuesta: Se tiene, en este caso, que ambas soluciones responden a la pregunta, pues un valor, [pic 43] corresponde al momento cuando el proyectil sube y el otro, [pic 44], cuando el proyectil va bajando.

1. Resuelva los siguientes ejercicios.

1. La propagación de cierto virus estival se modela por la función [pic 45], donde [pic 46] indica el número de contagiados y t índica los meses del año, t varía de 1 hasta 12.

1. Identifica variable dependiente e independiente de la función.
2. ¿Cuántos contagiados se estima que habrá al finalizar el mes de marzo?
3. ¿En qué mes del segundo semestre del año se estima que habrán 800 contagiados?

1. La propagación de cierto virus computacional se modela con la función [pic 47], donde [pic 48] indica el número de computadores infectados (en miles) y t indica el número de días desde que se propagó el virus, t varía de 1 hasta 8.

1. Identifica variable dependiente e independiente de la función.
2. ¿Cuántos computadores se estima que habrán contagiados al quinto día?
3. ¿Cuál es la primera vez en que se tendrán 12 mil computadores infectados?

1. La productividad de una parcela que cultiva frutales está dada por la función [pic 49], donde [pic 50] indica el número de kilogramos de fruta producidos y t indica el número de árboles que se plantaron en la parcela, t varía de 0 hasta 800.

1. Identifica variable dependiente e independiente de la función.
2. ¿Cuántos kilogramos de fruta se estima que se producen con 100 árboles?
3. ¿Cuántos árboles como mínimo plantaría Usted si quisiera obtener 120.000 kilogramos de fruta?

1. La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la función [pic 51], donde [pic 52] indica grados Celsius (°C) y t indica el mes del año, t varía de 1 hasta 12.

1. Identifica variable dependiente e independiente de la función.
2. ¿Cuántos grados Celsius se estima que habrá en marzo?
3. ¿En qué mes comenzarán las heladas (0°C)?

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRATICA

Relación entre las raíces y los coeficientes de la función cuadrática

Si [pic 53] y [pic 54] son las soluciones (o raíces) de la ecuación [pic 55], entonces siempre se cumplen las siguientes igualdades:

Gráfica

La gráfica de la función cuadrática [pic 58] corresponde a una Parábola. Para esbozar la función cuadrática se necesita conocer la intersección con los ejes y las coordenadas del vértice.

Intersección con los Ejes

Eje Y:

Para determinar la intersección de la parábola con el eje Y, se hace x = 0 y se tiene que:

    [pic 59] 

De esta forma, el término independiente (c) de la función cuadrática es el valor donde la gráfica interseca al eje Y. Luego, el punto de intersección de la parábola con el eje Y (0, c).

Eje X:

Para determinar la intersección de la curva con el eje X, se calcula y = 0, obteniendo la ecuación cuadrática:

                 [pic 60]

Al resolver la ecuación se obtienen las soluciones [pic 61] y [pic 62], donde:

[pic 63][pic 64]   y   [pic 65][pic 66]

Los puntos ([pic 67], 0) y ([pic 68], 0), corresponden a los puntos donde la parábola interseca al eje X.

Coordenadas del Vértice:

Las coordenadas del vértice corresponden al punto [pic 69] de la parábola, que pertenece al eje de simetría, es decir, la recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas.

Se puede determinar con la siguiente expresión:

[pic 70]

Donde [pic 71] e [pic 72]

Gráfica de una parábola

[pic 73]

1. A TRAVÉS DE LA GRÁFICA CONSTRUYA EL MODELO CUADRÁTICO Y RESPONDA.

1. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido. Al hacer el análisis resultó que la variación de temperatura estaba dada por una función cuadrática, donde la variable x representa el tiempo en minutos. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación.

[pic 74]

1. Un cibercafé abre su local a las 12 del día y cierra a las 10 de la noche. El número de clientes que hay en el cibercafé en función del número de horas x que lleva abierto el local está dado por una función cuadrática. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación.  

[pic 75]

1. La velocidad (m/seg) que posee una pelota de tenis al ser lanzada hacia el cielo está determinada por medio de una función cuadrática. Según la siguiente gráfica determine la función que modela dicha situación.  

[pic 76][pic 77]

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