Sistemas De Ecuaciones Primer Grado, Desigualdades Y Funciones Lineales Carlos Bieberach

INTRODUCCION

En esta unidad didáctica vamos a estudiar la resolución algebraica de sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables, desigualdades y funciones lineales.

INDICE

1.Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Variables…………………………......5

1.a. Sistemas Compatibles……………………………………………………………………..6

1.b. Sistemas Compatible Determinado………………………………………………………6

1.c Sistema Compatible Indeterminado…………………………………………………….....7

1.e. Sistemas Incompatible…………………………………………….…………………….…8

1.f. Análisis de Tipos…………………………………………………………………………..…9

1.1 Métodos de Solución………………………………………………………………………10

1.1.a.Métodos de Igualación……………………………………………………………….…..11

1.1.b.Métodos de Sustitución…………………………………………………………….…….13

1.1.c.Métodos de Reducción…………………………………………………………...………15

1.1.d.Métodos de Determinantes………………………………………………………………17

2. Desigualdades………………………………………………………………………...………20

2.a Propiedades de las Desigualdades…………………………………………………...…20

2.1 Desigualdades Lineales, Intervalos, soluciones…………………………………………22

2.1.1 Desigualdades Lineales………………………………………………………….……22

2.1.1.1 .Sentido de una Desigualdad…………………………………………………..…23

2.1.1.2. Resoluciones de las desigualdades…………………………………….………23

2.1.1.3. Resoluciones de Desigualdades Lineales………………………………...……23

2.1.1.4 .Desigualdades Absolutas y Condicionales…………………..…………………24

2.1.1.4.1 .Desigualdad Absoluta……………………………………………..…………24

2.1.1.4.2 .Desigualdad Condicional…………………………….………………………24

2.1.1.5. Propiedades de las Desigualdades……………………………………….……24

2.1.2 Intervalos…………………………………………………………………………………34

2.1.2.1.Intervalo Abierto…………………………………………...……………………….35

2.1.2.2.Intervalo Cerrado…………………………………………………………..………35

.

2.1.2.3 .Intervalo Semi Abierto por la izquierda…………………………………………36

2.1.2.4 Intervalo Semi Abierto por la derecha…………………………………………..36

2.1.2.5.Intérvalo Infinito……………...…………………………………………………..…37

2.1.2.6.Operaciones con intervalo la intersección, la unión diferencia de conjuntos..38

2.1.2.6.1.La Unión………………………………………………………………………38

2.1.2.6.2.La Intersección……………………………………………………………….39

2.1.2.6.3. La Diferencia…………………………………………………………………39

3. Funciones Lineales………………………………..…………………………………………..40

3.1.Definicion de una función Lineal………………………………………………….……40

3.2 Gráficas de una función Lineal…………………………………………………………43

3.3 Pendiente de una recta…………………………………………………………….……46

3.4 Formas de la Ecuación de una Recta…………………………………………………48

3.4.1.Ecuación General de la Recta……………………………………..………………48

3.4.2 Ecuación principal de la recta y= mx + b…………………………………………49

3.4.3. Ecuación punto-pendiente…………………………………………………………54

3.4.4.Ecuación de la recta que pasa por dos puntos…………………………….………57

3.5 Definición de rectas paralelas y perpendiculares…………………………….………61

3.5.1 Rectas Paralelas………………………………………………………………….…61

3.5.2 Rectas Perpendiculares…………………………………………………..………62

3.6. Determinación de Rectas Paralelas y Perpendiculares……………………….……64

3.6.1 Paralelismo de rectas………………………………………………………….……64

3.6.2.Rectas Perpendiculares……………………………………………………………68

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1.Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Variables

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.

Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

Consideremos un sistema como el siguiente:

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

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1.a. Sistema compatible

Si admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.

1.b Sistema Compatible Determinado

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado cuando:

En el ejemplo de la figura, dado el sistema:

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Podemos ver, que:

Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto, de valores:

siendo esta la solución del sistema.

1.c .Sistema Compatible Indeterminado

El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es indeterminado si:

Por ejemplo con el sistema:

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Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la expresión anterior, asignando valoras a x obtendremos el correspondiente de y, cada par (x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor real.

1.e Sistema Incompatible

El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la

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