Articulo De Ecuaciones

Soluciones asintóticamente exponenciales en ecuaciones integrales y diferenciales no lineales✩

Istvan Gyo˝ ri, Ferenc Hartung ∗

Departamento de Matemáticas de la Universidad de Pannonia, 8201 Veszprém, P.O Box 158, Hungría

INFORMACIÓN DEL ARTÍCULO

Historia del artículo:

Recibido el 19 de febrero 2008

Revisado el 29 de diciembre 2009

Disponible en línea 13 de julio 2010

Palabras clave:

Crecimiento / decrecimiento exponencial

Resumen ecuación integral

Ecuaciones diferenciales cuasilineales

Ecuaciones de retardo

Biología matemática

RESUMEN

En este trabajo se investiga la tasa de crecimiento / descomposición de soluciones de una ecuación integral abstracto que surge con frecuencia en casi lineal ecuaciones diferenciales que aplican una fórmula de variación-de-constantes.

Estos resultados son aplicables a algunas ecuaciones abstractas que aparecerá en la teoría de los modelos de población dependientes de la edad y también de alguna demora ecuaciones diferenciales cuasilineales con acotado y retrasos no acotados. Los ejemplos se dan para ilustrar la nitidez de los resultados.

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1. INTRODUCCIÓN

Modelos de poblaciones estructuradas se han estudiado por lo menos desde los años sesenta [3], y todavía es un área intensamente estudiado [1, 2, 12, 13, 16, 23,29]. Una propiedad importante de los modelos estructurados por edad de la población es la llamada propiedad asíncrono crecimiento / decrecimiento exponencial, es decir, cuando la distribución de la edad tiende a un límite independientemente de la distribución de la edad inicial (véase, por ejemplo, [10-13, 15,23 ,30-32]). En estos documentos el modelo de población ecuación diferencial parcial se transforma en una ecuación equivalente abstracto lineal no homogéneo diferencial, por lo que la solución está dada por la variación de la fórmula-constante:

(1.1)

Donde u ∈ X, X es un espacio de Banach con la norma || •||, T (t) es un semigrupo fuertemente continuo de los operadores delimitadas en X. Gillenberg y Webb [15] y Webb [30] estudió el crecimiento exponencial asíncrono en ecuaciones diferenciales abstractas originó a partir de los modelos de población dependientes de la edad, cuando el resumen investigado ecuación diferencial se puede escribir en la forma de (1.1). En [30] se ha demostrado que si lımt → ∞ e-αtt-kT (t) u existe para todo u ∈ X para algunos α> 0, k? 1, y

Es una función no creciente monótona en el intervalo (0, ∞), entonces lımt → ∞ e-αtt-kx (t) existe, también. Por lo tanto la tasa de crecimiento de las soluciones de la ecuación homogénea determina que de las soluciones de la ecuación no homogénea.

Motivado por este resultado, en este trabajo se estudia el comportamiento asintótico de las soluciones de un tipo de Volterra ecuación integral no lineal abstracto

(1.2)

Aquí f es un operador de Volterra, es decir, f (t, x (•)) = f (t, ~ x (•)), si x (s) = ~ x (s), t-1 s t, donde x, ~ x:

[t-1, ∞) → X, t-1 t0, y nos asociamos a la condición inicial (1.2).

(1.3)

La clase de Volterra ecuaciones integrales de la forma (1.2) contiene la ecuación integral simple (1.1) como un caso especial usando f (s, x (•)) = F (x (s)), t-1 = t0, y en este caso la condición inicial (1.3) se reduce a x (t0) = φ (t0). La clase de la ecuación. (1.2) también contiene, por ejemplo, las ecuaciones integrales funcionales de la forma

(1.4)

2. RESULTADOS PRINCIPALES

Vamos a - ∞ <t-1 <t0 <∞ ser fijo, y C: = C ([t-1, ∞), X) denota el conjunto de funciones de mapeo continuo [t-1, ∞) en el espacio de Banach X. Sea C: C = ([t-1, t0], X) es el espacio de Banach de funciones de mapeo continuo [t-1, t0] en X con la norma φ 0 = max -1 s t0 φ (s), φ ∈ C, donde | | • | | denota la norma en X. Cualquier norma fija en Rn y su norma matricial inducida en Rn × n se denota por | | • | |, También.

Sea B (X) sea el espacio de los operadores lineales acotados mapeo X en X y R + = [0, ∞). Una familia

T: R + → B (X) de los operadores lineales acotados se llama fuertemente continua si el mapa R + t → T (t) x ∈

X es continua para cualquier fijo x ∈ X. Para cualquier constante u ∈ R la función constante correspondiente se denota por u, también.

En esta sección se considera la ecuación integral de Volterra de tipo

(2.1)

Con la condición inicial

Declaramos las siguientes hipótesis:

(H1) Por todo φ ∈ C la función y (•; φ): [t-1, ∞) → X es continua, y (s, φ) = φ (s) para s ∈ [t-1, t 0 ], y

Donde α es una constante dada, k es un entero no negativo, y m0 (•): C → R + es tal que m0 (φ) → 0 cuando φ 0 → 0.

(H2) T: R + → B (X) es una familia fuertemente continua de operadores lineales acotados de X, y

(H3) f: [t0, ∞) × M → X es una Volterra de tipo funcional, es decir, para todo x ∈ C, el mapa [t0, ∞) t →f (t, x (•)) ∈ X es continua, y para siempre (t, x), (t, ~ x) ∈ [t0, ∞) × C,

(H4) Para todos (t, z) ∈ [t0, ∞) × C,

Donde ζ: [t0, ∞) → R satisface

3. APLICACIONES

En esta sección aplicamos nuestros principales resultados a una clase de modelos de población dependientes de la edad con el proceso de nacimiento tardía a una cierta clase de ecuaciones diferenciales con retrasos delimitados y no delimitados, y también para el pantógrafo y las ecuaciones diferenciales de girasol.

En [23], el siguiente modelo de población estructurado por edad se ha estudiado:

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