Ejercicos De Independencia Lineal

Definición: INDEPENDENCIA LINEAL

Sean . Diremos que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes.

Estas definiciones son muy intuitivas, pero poco OPERATIVAS, ya que nos obligan a ir resolviendo varios sistemas de ecuaciones. Sería deseable obtener una características más operativas. Esta característica, que no es más que una CARACTERIZACIÓN de los conceptos de dependencia e independencia lineal podemos intentarla deducir del siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos de vectores de ejemplos anteriores de los cuales ya sabemos que son linealmente dependiente y linealmente independientes respectivamente:

G1={(3,-1,0,4),(1,0,0,0),(0,1,0,-1),(5,0,0,3)} es l.d.

G2={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} es l.i.

Intentemos observar ¿qué peculiaridad tienen estos conjuntos para ser l.i. o l.d.?

Comenzamos con el primer conjunto que sabemos es linealmente dependiente.

Tal como vimos se verificaba que el cuarto vector se podía expresar como combinación lineal de los otros tres:

esta igualdad se puede expresar de otra forma

Por otro lado con el conjunto l.d. obteníamos que la ecuación

no admitía ninguna solución para los escalares. Sin embargo sí se verifica que

¿Cuál podría ser por tanto una característica de estos dos tipos de conjuntos?

Parece que los conjuntos Linealmente Dependientes, permiten obtener escalares no todos nulos en la ecuación que iguala una combinación lineal de los vectores objeto de estudio con el vector nulo.

Por el contrario cuando el conjunto es Linealmente Independiente, la única solución a esta ecuación es que todos los escalares sean nulo.

a) es LINEALMENTE INDEPENDIENTE si y sólo si la ecuación se cumple solo si

Veamos algunos ejemplos que aplican esta caracterización en DERIVE.

Ejemplo.

Determinar si son L.I. o L.D los siguientes conjuntos de vectores

a) {(-1,2,0), (1,0,1), (0,1,1)}

b) {(1,2,3,-5),(1,4,1,-2),(2,0,-3,1),(0,6,7,-8)}

Comencemos intentando resolver el primero:

a) Para ello editamos en DERIVE la ecuación

simplificamos y obtenemos el sistema de ecuaciones

que al intentar resolver nos da como única solución

por tanto el conjunto es L.I.

b)Editamos la ecuación

simplificamos

y al resolver nos da

por tanto existen infinitas soluciones no nulas, por ejemplo a=1, b=1, c=-1, d=-1, luego son L.D.

ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES.

1) Un conjunto de vectores será LINEALMENTE INDEPENDIENTE o bien LINEALMENTE DEPENDIENTES

2) Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo será L.D.

Para demostrar esta propiedad, basta considerar un conjunto de vectores que contenga al vector nulo, por ejemplo {(1,2,3),(3,4,5),(0,0,0)}. Es evidente que para los escalares

0 (1,2,3) + 0 (3,4,5) + 8 (0,0,0) = (0,0,0)

se cumple la caracterización y obsérvese que los escalares no son todos nulos, pues en particular el que acompaña al (0,0,0) puede tomar cualquier valor.

COMBNACION LINEAL.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación

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