Dependencia e Independencia Lineal.

Dependencia e Independencia Lineal.

Dependencia lineal

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Independencia Lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Base y dimensión. Teorema de la dimensión y Teorema de la base incompleta.

Base:

Se llama base de un espacio (o sub-espacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o sub-espacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases.

• Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

• Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

• Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Dimensión

Todas las bases de un mismo espacio o sub-espacio tienen el mismo número de

vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o sub-espacio.

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o sub-espacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio

Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.

Teorema de la base incompleta

Se E un e.v de generación finita, sobre el cuerpo conmutativo K. Entonces, todo sistema S de vectores linealmente independientes está contenido en alguna base.

El resultado que establece este teorema es que dado un sistema libre de vectores, podemos ir añadiendo más vectores libres hasta completar una base.

La demostración de este teorema es similar a la del Teorema de Existencia de Base, partiendo en este caso no de un vector no nulo, sino del sistema libre S.

Definición: Espacio Vectorial

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

Otras propiedades: de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas.

Espacios vectoriales de matrices.

Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto.

Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de M22, sean

Dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene entonces que:

Axioma 1:

u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la adición.

Axiomas 2 y 5:

De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.

Axioma 3:

La matriz cero de 2 x 2 es , puesto que

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